Головна
Безпека життєдіяльності та охорона праці || Хімічні науки || Бізнес і заробіток || Гірничо-геологічна галузь || Природничі науки || Зарубіжна література || Інформатика, обчислювальна техніка та управління || Мистецтво. Культура || Історія || Літературознавство. Фольклор || Міжнародні відносини та політичні дисципліни || Науки про Землю || Загальноосвітні дисципліни || Психологія || Релігієзнавство || Соціологія || Техніка || Філологія || Філософські науки || Екологія || Економіка || Юридичні дисципліни
ГоловнаФілософські наукиПершоджерела з філософії → 
« Попередня Наступна »
Артур Шопенгауер. Про четверояком корені закону достатньої підстави. Світ як воля і уявлення Том 1. Критика кантівської філософії. Світ як воля і уявлення, 1993 - перейти до змісту підручника

§ 39. Геометрія

Так само на зв'язку положення частин простору заснована вся геометрія. Тому вона повинна була б бути розумінням цьому зв'язку, але так як воно, як сказано вище, за допомогою понять неможливо, а дається тільки спогляданням, то кожен геометричний закон мав би зводитися до такого споглядання, і доказ полягало б у ясному виявленні зв'язку, від споглядання якої все залежить; нічого більше не можна було б зробити. Тим часом ми бачимо, що в геометрії діють зовсім інші методи. Лише дванадцять аксіом Евкліда вважають заснованими на спогляданні, і навіть з них тільки дев'ята, одинадцята і дев'ята засновані на окремих різних спогляданнях, всі ж інші - на розумінні того, що в науці ми маємо справу, не як в досвіді, з реальними речами, які перебувають самі по собі один біля одного і можуть бути до безкінечності різними, а з поняттями, - в математиці з нормальними спогляданнями, тобто з фігурами і числами, службовцями законом для всякого досвіду і тому соеди-няющая многооб'емлемость поняття з повною визначеністю одиничного подання. Бо хоч вони в якості споглядаємо уявлень повністю визначені і таким чином не залишають місця для спільності, обумовленої невизначеністю, вони проте всеобщи, бо суть тільки форми всіх явищ і в якості таких застосовні до всіх об'єктів, яким властива подібна форма. Тому навіть у геометрії до цих нормальним спогляданням, як і до понять, можна застосувати те, що Платон говорить про ідеї: що не можуть існувати дві однакові ідеї, так як вони були б одной4. Це було б, кажу я, можна застосувати і до нормальних спогляданням в геометрії, якби вони в якості тільки просторових об'єктів не розрізнялися перебуванням один біля одного, місцем. Це, за словами Аристотеля, помітив і сам Платон: item praeter sensibilia et species, mathematica rerum ait media esse, a sensibilibus quidem differentia eo, quod perpetua et immobilia sunt, a speciebus vero eo, quod illorum quidam multa, quaedam similia sunt, species vero ipsa unaquaeque sola97 (Metaph. I, 6, з цим слід порівняти X, 1). Розуміння того, що подібне відмінність в місці не знищує тотожності в іншому, могло б, як мені здається, замінити ті дев'ять аксіом і більш відповідало б сутності науки, мета якої пізнавати одиничне із загального, ніж побудова дев'яти різних аксіом, заснованих на одному міркуванні. Тоді до геометричних фігур ставилися б слова Аристотеля: in illis aequalitas unitas est (Metaph. X, 3).

Що ж до нормальних споглядань в часі, чисел, то для них немає навіть відмінності в перебуванні один біля одного, а є просто, як у поняттях, identitas indiscernibilium98 і існує тільки одне п'ять і тільки одне сім . І тут можна було б знайти підставу того, що 7 + 5 = 12 не ідентичні, як стверджує Гердер у своїй «Метакритика», а, як глибокодумно визначив Кант, синтетичне судження a priori, засноване на чистому спогляданні. Ідентичне судження - це 12-12.

Отже, на споглядання в геометрії посилаються, власне, тільки в аксіомах. Всі інші теореми доводяться, тобто наводиться така підстава пізнання теореми, яке змушує кожного визнати її правильною: отже, виявляють логічну, а не трансцендентальну істинність теореми (§ § 30 і 32). Істинність, яка лежить в основі буття, а не пізнання, стає очевидною тільки за допомогою споглядання. Тому після проведення геометричного доказу ми знаходимо, правда, впевненість у тому, що доведена теорема істинна, але зовсім не розуміємо, чому те, що вона стверджує, таке, як воно є, тобто не проникаємо в підстава буття, більш того, зазвичай тільки тепер у нас виникає потреба в ньому.

Бо доказ допомогою вказівки на підставу пізнання діє тільки як переконання (convictio), не як урозуміння (cognitio), тому було б, мабуть, вірніше називати його elenchus, а не demonstrate Цим пояснюється, що воно залишає зазвичай неприємне почуття, яке ми завжди відчуваємо при неповноті знання, причому тут недостатнє знання того, чому щось так, стає відчутним допомогою даної впевненості в тому, що це так. Відчуття при цьому схоже на те, що ми відчуваємо, коли у нас непомітно виймають небудь з кишені або кладуть туди, і ми не розуміємо, як це було зроблено. Дане підставу пізнання без підстави буття, як це відбувається в подібних демонстраціях, аналогічно ряду фізичних положень, які показують явище, не вміючи пояснити його причину, як, наприклад, досвід Лейденфроста, оскільки він вдається в платиновому тиглі. Навпаки, пізнане за допомогою споглядання підстава буття геометричної теореми дає задоволення, як кожне здобутий знання. Якщо ми осягнули підстава буття, то впевненість в істині теореми грунтується тільки на ньому, а аж ніяк не на підставі пізнання, даному доказом. Наприклад, шосту теорему своєї першої книги: «Якщо в трикутнику два кути рівні, то рівні й протилежні їм сторони» - Евклід доводить так (див. рис. 3): у трикутнику abg кут abg дорівнює куту agb; я стверджую, що тоді і сторона ag дорівнює стороні ab.

Бо якщо сторона ag не дорівнює стороні ab, то одна з них більше іншої. Віднімемо від більшої сторони ab відрізок db, рівний меншою лінії ag, і проведемо лінію dg. Так як (в трикутниках dbg, abg) db дорівнює ag, a bg належить обом, то дві сторони db і bg дорівнюють двом сторонам ag і gb, узятим окремо, кут dbg дорівнює куту agb, основна лінія dg дорівнює основної лінії ab, і трикутник abg дорівнює трикутнику dbg, більший меншого, що безглуздо, отже, ab НЕ нерівна ag, отже, дорівнює.

В цьому доказі ми маємо підставу пізнання істинності теореми. Але хто ж засновує свою впевненість в цій геометричній істині на подібному доказі, а не на пізнаному спогляданням підставі буття, за яким (в силу необхідності, не допускає подальшого докази,. А доступній тільки споглядання), якщо з обох кінцевих точок лінії виходять дві інші лінії і рівномірно нахиляються один до одного, вони можуть зустрітися тільки в одній точці, що знаходиться на однаковій відстані від обох кінцевих точок, тому що два виникають кута складають, власне, тільки один кут, удаваний двома кутами тільки через протилежної становища; тому немає підстави, щоб лінії зустрілися ближче до однієї точки, ніж до іншої.

Пізнаючи підстава буття, ми виводимо як необхідний наслідок, обумовлене його умовою, в даному випадку - рівність сторін з рівності кутів, - їх зв'язок; підстава ж пізнання дає нам тільки спільне буття обох. Більш того, можна навіть стверджувати, що звичайний метод докази переконує нас, власне, лише в тому, що обидва рівності виступають в даній, прийнятої в доказі фігурі, а аж ніяк не в тому, що вони завжди виступають разом; в цій істині (оскільки необхідна зв'язок не показана) ми знаходимо тільки впевненість, засновану на індукції, і спочиває наше переконання на тому, що це виявляється в кожній фігурі, побудованої нами. Правда, настільки легко підстава буття кидається в очі тільки в таких простих теоремах, як шоста теорема Евкліда; однак я переконаний, що в кожній, навіть самої заплутаної, теоремі його можна виявити і звести достовірність теореми до такого простого споглядання. До того ж кожен a priori усвідомлює необхідність такої підстави буття для кожного просторового відносини, подібно необхідності причини для кожної зміни.

Звичайно, виявити таку підставу в складних теоремах дуже важко, а тут не місце проводити складні геометричні дослідження. Тому тільки для того, щоб ще більше усвідомити свою думку, я зведу до основи буття не надто складну теорему, в якій, проте, ця підстава не відразу впадає в очі.

Пропускаю десять теорем і переходжу до шістнадцятої: «У кожному трикутнику, одна сторона якого продовжена, зовнішній кут більше, ніж кожен з двох протистоять йому внутрішніх». Доказ Евкліда таке (див. рис. 4).

Візьмемо трикутник abg, продовжимо сторону bg до d, і я стверджую, що зовнішній кут agd більше, ніж кожен з двох протистоять йому внутрішніх. Розділимо сторону ag навпіл в точці е, проведемо лінію be, продовжимо її до z і зробимо ez рівний eb, з'єднаємо точки z і g і продовжимо ag до h. Так як ае дорівнює eg і be дорівнює ez, то дві сторони ае і eb дорівнюють двом сторонам ge і ez, узятим окремо, і кут aeb дорівнює куту zeg, бо це - вертикальні кути. Тим самим основна лінія ab дорівнює основної лінії zg і трикутник abe дорівнює трикутнику zeg: а інші кути рівні іншим кутах, отже, і кут Ьае дорівнює куту egz. Однак кут egd більше кута egz, отже, і кут agd більше кута Ьае. Якщо розділити навпіл і лінію bg, то подібним же чином можна довести, що кут bgh, тобто його вертикальний кут agd, більше, ніж abg.

Я б довів цю теорему таким чином (див. рис. 5). Для того щоб кут bag дорівнював, а тим більше перевершив би, кут agd, лінія Ьа (бо це і означає рівність кутів) повинна була б знаходитися по відношенню до лінії ga в тому ж напрямку, як bd, тобто бути паралельною bd, іншими словами, ніколи не перетинатися з bd; однак для того щоб утворити трикутник, вона повинна (підстава буття) перетнутися з bd, тобто здійснити протилежне необхідному для того, щоб кут bag хоча б досяг величини кута agd.

Для того щоб кут abd дорівнював кутку agd, а тим більше перевершував його (бо саме це і означає рівність кутів), лінія Ьа повинна була б знаходитися по відношенню до лінії ga в тому ж напрямку, що bd, тобто йти паралельно bd, іншими словами, ніколи не перетинатися з нею; але для того щоб утворити трикутник (підстава буття), вона повинна перетнутися з лінією ag, отже, вчинити протилежне необхідному для того, щоб кут abg хоча б досяг величини кута agd.

Усім цим я аж ніяк не хотів запропонувати новий метод математичних демонстрацій або замінити моїм доказом доказ Евкліда; для цього воно не підходить по всьому своєму характеру, а також тому, що воно передбачає поняття паралельних ліній, яке лише пізніше зустрічається у Евкліда; я хотів лише показати, ЧТД є підстава буття і чим воно відрізняється від основи пізнання, яке діє лише convictio, а це щось зовсім інше, ніж розуміння підстави буття. Те, що в геометрії прагнуть діяти лише convictio, що справляє неприємне враження, а не розумінням підстави буття, яке, як всяке розуміння, задовольняє і радує, послужило, ймовірно, однією з причин того, що багато людей глибокого розуму не схильні займатися математикою.

Не можу втриматися, щоб не помістити тут ще раз вже дану в іншому місці фігуру (мал. 6); один погляд на неї, без будь-яких міркувань, переконує в істинності теореми Піфагора в двадцять разів більше, ніж заплутане доказ Евкліда. Читач, якого зацікавила ця глава, знайде подальший розгляд цієї теми в «Світі як волі і виставі», т. 1, § 15 і т. 2, гл. 13.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " § 39. Геометрія "
  1. 4. «Ерлангенськая програма» у філософії і в історії філософії
    геометричних досліджень », що отримало назву« Ер-лангенской програми ». Клейн розглядає ієрархію різноманіть - просторів будь-якого числа вимірів і відповідних геометрій, поклавши в основу їх визначення поняття інваріанта, введене в математику за двадцять років до цього. В елементарній геометрії перетвореннями, переходами від одних змінних до інших служать насамперед
  2. 43. ФЕОДОР 1.
    Геометрії. 3. Діоген Лаерт, II, 103: Феодору було двадцять. Перший - самосец, син Річка. . . другий - кіренец, геометр, слухачем якого був Платон, ср: Там же, III, 6 = 44 А 5. 4. Феодор - персонаж діалогів Платона «Теєтет», «Софіст», «Політик». Ср, наприклад: Теєтет, 145 А: [Сократ:] Чи не геометр Чи він 1 «= Феодор]? - [Теєтет :) Безсумнівно, Сократ. - Чи не знавець чи він також
  3. Северин Боецій (480-524)
    геометрію, астрономію і музику (науки, засновані на математичних закономірностях) у навчальний цикл квадріум (четвертий шлях). Цей цикл разом з тривіуму (третій шляхом) - граматикою, риторикою, діалектикою - склав сім вільних мистецтв, згодом покладених в основу всього середньовічного
  4. 3. Трансценденталізм і математика
    геометрію, арифметику і механіку. Предмет геометрії - просторові величини, і їх співвідношення. Передумовою їх служить простір. Арифметика займається числами, вона утворюється додатком до одиниці все нових одиниць; ці додавання відбуваються послідовно, в часі, і арифметика в останньому рахунку - це вчення про часовій послідовності. Механіка має своїм предметом тимчасові по-
  5.  23. Обгрунтування конвенціоналізму в науці А. Пуанкаре -
      геометрія з досвіду? »? Основна література Пуанкаре А. Про науку. М., 1983. С. 7-9, 41, 89, 90, 155-158, 180, 258. Додаткова література Панов М.Н. Анрі Пуанкаре і наука початку XX століття / М.Н. Панов, А.А. Тяп-кін.М., 1990. Панов М.І. Анрі Пуанкаре і наука початку XX століття / М.Н. Панов, А.А. Тяп-кін А.С. Шибанов / / Про науку / А. Пуанкаре. М., 1983. Пуанкаре А. Про науку
  6.  42. ГІППОКРАТ з Хіос. Есхіл 1.
      геометрії »Евдема, фр. 133 W.): Після них [Анаксагора, Енопіда] Гіппократ з Хіос, що відкрив квадрірованіе луночки, і Феодор з Кірени прославилися в геометрії. . . Гіппократ першим з тих, про кого збереглася пам'ять, написав "Елементи". * 1а. Геркуланумскій список академіків, с. 16 Mekler: [У часи Платона] досягли вершини. . . Фметіческіе проблеми після того, як Екс і його школа
  7.  ПРАВИЛО II
      геометрія, до яких нас приводить дотримання цього правила. 80 Ми, однак, не засуджуємо зважаючи на це той спосіб філософствування, який доти винайшли інші, і знаряддя правдоподібних силогізмів, надзвичайно придатні для шкільних баталій, бо вони тренують уми юнаків і розвивають їх за допомогою якогось змагання, і набагато краще утворювати їх думками такого роду, навіть якщо ті
  8.  § 5. Природа простору 26.
      геометрично складається з пересічний її площині променями світла, що доходять від природних об'єктів до ока. Однак геометри використовують узагальнену перспективу. Наприклад, нехай у фігурі Про буде оком, /!, В, С, В, Е-крайніми точками поверхні, a af е D с - крайніми точками іншій поверхні. Геометри проводять промені через точку О, перетинають обидві ці поверхні, і розглядають точки
  9.  44. Філолай
      геометрію, астрономію, музику та інші науки. . . Вони зустрічаються рідко, такими були колись Аристарх Самоський, Філолай Архіт з Тарента, Аполлоній з Перги ... За допомогою математики та фізичних міркувань вони відкрили, витлумачили і передали потомству багато що відноситься до органіки і гномоніке. 7. Афіни, IV. 184 Е: Багато хто з піфагорійців займалися авлетікой, як, наприклад, Евфранор,
  10.  ПРАВИЛО XVIII
      геометрів, це те ж саме, як якщо б було сказано, що треба знайти середню пропорційну між тією прийнятої величиною, яку ми називаємо одиницею, і тієї, яка позначається а2, або дві середні пропорційні між одиницею і а3, і т.д. З цього легко зробити висновок про те, яким чином двох названих дій достатньо для відшукання будь-яких величин, які повинні бути виведені з
  11.  Предмет філософії в трактуванні Декарта
      геометрії), Декарт зауважив, що у таких вчених немає філософської проникливості, «бо та частина людського розуму, яка найбільше допомагає математики, а саме уява, більш шкодить, чим сприяє метафізичним умоглядам» [9]. Отже, основний, власне філософською наукою в картезіанству залишилася метафізика. Але вона зазнала найсильніший вплив наукових пошуків Декарта і