НА ГОЛОВНУ

Безпека життєдіяльності та охорона праці || Хімічні науки || Бізнес і заробіток || Гірничо-геологічна галузь || Природничі науки || Зарубіжна література || Інформатика, обчислювальна техніка та управління || Мистецтво. Культура || Історія || Літературознавство. Фольклор || Міжнародні відносини та політичні дисципліни || Науки про Землю || Загальноосвітні дисципліни || Психологія || Релігієзнавство || Соціологія || Техніка || Філологія || Філософські науки || Екологія || Економіка || Юридичні дисципліни
ГоловнаФілософські наукиПершоджерела з філософії → 
« Попередня Наступна »
Пірс Ч.С.. Вибрані філософські твори. Пер. з англ. / Переклад К. Голубович, К. Чухрукідзе, Т.Дмітріева. М: Логос. - 448с, 2000 - перейти до змісту підручника

§ 5. Нескінченність і безперервність взагалі

112. Більшість математиків, які на протязі двох останніх поколінь займалися диференціальним численням, вважали, що нескінченно малу кількість - це абсурд, і все ж з властивою їм обережністю вони додавали: «Або у всякому випадку поняття нескінченно малого настільки складно, що ми практично не можемо помислити його з упевненістю та гарантією ». Відповідно, вчення про межах було винайдено, щоб уникнути складності, або, як говорять деякі, щоб пояснити значення слова «нескінченно малий». Ця теорія в тому чи іншому вигляді викладається в підручниках, хоча в деяких з них тільки в якості альтернативної точки зору на проблему; вона досить добре відповідає цілям числень, хоча навіть при такому застосуванні може зіткнутися з труднощами.

ІЗ. Освітлення предмета допомогою суворого обчислення логіки відносин ясно і очевидно показало мені, що ідея нескінченно малих НЕ чревата ніякими протиріччями, ще до того, як я ознайомився з роботами д-ра Георга Кантора (хоча багато з них вже з'явилися в MathematicheAnnalen і Borchardt'sJournal, якщо навіть BActa

Matbematica, то, у всякому разі, у всіх першорозрядних математичних журналах, в яких та ж точка зору викладена з незвичайною обдарованістю і проникливою логікою.

Переважна думка полягає в тому, що кінцеві числа - єдині, які ми можемо помислити, принаймні за допомогою звичайного модусу мислення, або, як визначають це деякі автори, це - єдині числа, які можна помислити з математичної точки зору. Але це - ірраціональне упередження . Вже давно я довів, що кінцеві безлічі відрізняються від нескінченних тільки однією обставиною і його наслідками, а саме тим, що до них застосуємо особливий незвичайний вид мислення, який його відкривач, де Морган, назвав «силогізмом транспоніруемого кількості.»

Бальзак у введенні до своєї «Фізіології шлюбу», зауважує, що будь-яка молода француз хвалиться тим, що хоч раз спокусив француженку. Отже, якщо жінку можна спокусити лише раз, і француженок максимум, ніж французів, з цього випливає , що якщо вищезгадана похвальба достовірна, ні одна француженка не уникла спокушання. Якби їх число було кінцевим, подібний хід мислення спрацьовував би. Але оскільки населення безперервно зростає, і спокушені в середньому молодше спокусників, цей висновок не обов'язково достовірний. Подібним чином Де Морган , в якості актуарія1 'міг стверджувати, що якщо страхова компанія платить застрахованим у середньому більше, ніж вони коли-небудь платили компанії, включаючи відсотки, то вона повинна терпіти збитки. Однак кожен сучасний актуарій побачить тут помилку, оскільки бізнес безперервно зростає. Але варто війні або будь катастрофі обмежити со-

'Актуарій - статистик страхового суспільства. СЛОВА страхуються, як в результаті висновок стане до болю достовірним. Двавышеупомянутыхрассужденияявляются прикладами силогізмів транспоніруемого кількості.

До становища про те, що кінцеві і нескінченні безлічі різняться в силу того, що до першого застосуємо згаданий силогізм транспоніруемого кількості, слід ставитися як до основного положення наукової арифметики.

Якщо людина не знає, як міркувати логічно, - а я повинен відзначити, що більшість досить хороших, та й видатних математиків, підпадають під цю категорію, - але просто користується рахунком на пальцях, сліпо роблячи висновки за аналогією з іншими висновками, які виявилися правильними, він, звичайно, буде постійно робити помилки щодо нон-фінітних чисел. Істина полягає в тому, що такі люди взагалі не міркують. Однак для того меншини, що здатне міркувати, міркування про нон-фінітних числах виявляється простіше, ніж міркування про числа фінітних, оскільки [в першому випадку ] не потрібно складний силогізм транспоніруемого кількості. Наприклад, те, що ціле більше своїх частин, не є аксіомою, на відміну від думки Евкліда, найвищою мірою поганого логіка. Це теорема, легко доказова за допомогою силогізму транспоніруемого кількості, але не інакше. Вона вірна відносно кінцевих множин, але помилкова щодо нескінченних. Так, парні числа є частиною целихчісел. Проте, парних чисел не менше, ніж всіх цілих чисел; це нескладна теорема, оскільки якщо будь-яке число в цілому ряді цілих чисел подвоїться, результатом буде ряд парних чисел:

1,2,3,4, 5, біт.д. 2,4,6,8, 10, 12іт.д.

Так що для кожного числа існує окреме парне число. Насправді існує стільки ж окремих подвоєних чисел, скільки існує взагалі окремих чисел. Але все подвоєні чіслаявляютсячетнимі. <...>. 118. Очевидно, що існує стільки ж точок на лінії або в тимчасовому інтервалі, скільки дійсних чисел взагалі. Це, відповідно, незліченні множини. Багато математики дуже необачно припустили, що точок на поверхні або в твердому тілі більше, ніж Налін. Однак це положення було спростовано Кантором. Дійсно, очевидно, що будь-якому безлічі значень координат відповідає єдине окреме число. Припустимо, що всі значення координат розташовані між 0 і +1. Тоді, якщо ми складемо число, поставивши на місце першого десяткового знака першу цифру першого координати, на друге - першу цифру другу координати і т. д., і якщо перші цифри, розподілені таким чином, переходять до других цифрам і розподіляють їх подібним же чином, то стає ясно, що значення координат можуть зчитуватися з єдиного числа, що вийшло, так, що тріада або теграда чисел, в яких кожне має незліченну безліч значень, має не більше значень, ніж єдине ірраціональне число.

Якщо число вимірювань буде нескінченним, результат буде іншим, і сукупність нескінченних множин чисел, кожне з яких має незліченну кількість значень, могла б бути тому більше, ніж проста незліченну сукупність, і могла б бути названа необмежено нескінченної (endlessly infinite). Проте ж окремі члени такої сукупності не можна було б позначити навіть приблизно, так що це дійсно величина, яку можливо помислити тільки найбільш загальним способом, якщо взагалі можливо. 119.

І все-таки, незважаючи на те, що існує лише два ступені величин нескінченних множин, коли на порядок, у якому дано індивідуальні члени, накладаються певні умови, виникає розмежування величин. Таким чином, якщо прості необмежені ряди подвоїти допомогою розділення кожного елемента на дві частини, причому послідовність перших і других частин взяти в тому ж порядку, що і вихідні елементи, цей подвійний необмежений ряд, оскільки він даний в такому порядку, стане в два рази більше, ніж вихідний ряд. Аналогічно , при збереженні порядку безперервності, твір двох незліченних сукупностей, тобто множин всіляких пар, складених з одного елемента кожної сукупності, виявляється в силу порядку нескінченно більше кожного з вихідних множин. 120.

І ось ми підійшли до важкого питання: що ж таке безперервність? Кант змішує її з нескінченною делимостью, стверджуючи, що основна властивість безперервного ряду полягає в тому, що між будь-якими його двома членами завжди можна знайти третій. Цей аналіз відрізняється вражаючою ясністю і визначеністю; однак, на жаль , він валиться після першого ж випробування. Бо згідно з ним, повний ряд раціональних дробів, упорядкований в порядку зростання, представляв би собою нескінченний ряд, хоча раціональні дроби ісчісліми, в той час як точки, [складові] лінію, незчисленні. І навіть ще гірше , якщо з цього ряду дробів видалити будь-які дві, з усім тим, що знаходиться між ними, і зробити будь-яку кількість подібних кінцевих пробілів, то визначення Канта буде істинним відносно ряду, але втратить всяку подібність безперервності.

Кантор визначає безперервний ряд, як зчеплений і досконалий. Під зчепленим поруч він має на увазі той, в якому за умови даності будь-яких двох точок і будь-якого кінцевого відстані, незалежно від його малості, можна просунутися від першої точки до другої через послідовність точок в ряду , при тому, що кожна точка буде знаходитися на меншій відстані від попередньої, ніж вихідне. Це справедливо відносно ряду раціональних дробів, розташованих у міру їх зростання. Під досконалим поруч він має на увазі ряд, який містить будь-яку точку так, що немає відстані настільки малого, щоб ця точка не мала нескінченної кількості точок ряду всередині даної відстані. Це вірно для ряду чисел від 0 до 1, які можна виразити за допомогою десяткових дробів, де

є тільки нулі й одиниці.

Слід визнати, що визначення Кантора включає кожен безперервний ряд; не можна також заперечити на те, що він включає небудь значний і безперечний випадок ряду, який не є безперервним. Проте, це визначення має серйозні недоліки . Передусім воно залежить від метричних міркувань, в той час як розмежування між безперервними і переривчастими рядами, по всій очевидності, метричним не є. Крім того, досконалий ряд визначається як містить «будь-яку точку» певного виду. Однак не повідомляється ніякого позитивного уявлення про те, чим є всі крапки відразу, це - визначення за допомогою заперечення, і воно не може бути визнано. Якщо допустити подібні речі, буде дуже легко відразу сказати, що безперервний лінійний ряд точок - це той, який містить будь-яку точку лінії між її краями . Нарешті, визначення Кантора не дає виразного поняття про те, чим є компоненти поняття безперервності. Воно нехитро укладаючи-ет його властивості в дві окремі посилки, але не демонструє їх нашому розуму.

Визначення Канта висловлює одне проста властивість континууму; однак всередині ряду воно допускає прогалини. Щоб внести поправку в це визначення, необхідно простежити, як ці прогалини можуть виникати. Припустимо, що лінійний ряд точок простягається від точки А до точки В, має пробіл між В і третьою точкою С і далі протягнеться до кінцевого межі D; і припустимо, що цей ряд узгоджується з визначенням Канта. Тоді з ряду необхідно буде виключити одну точку В або обидві точки В і С; в іншому випадку, за визначенням, між ними виникнуть ще точки. Тобто, якщо ряд містить С, то хоча він і містить всі точки аж до В, він не може містити В. Тому якщо що і потрібно, так це констатувати - але не в метричних термінах, - що якщо ряд точок до якоїсь межі включений в континуум, то буде включений і сам межа. Можна помітити, що це - те властивість континууму, на яке, схоже, звернув увагу і Аристотель, коли він визначав континуум як щось, чиї частини мають спільний межа. Властивість це можна констатувати такий спосіб: якщо лінійний ряд точок між двома точками, А і D, безперервний і якщо взяти нескінченний ряд точок, перший з них між А і D, а кожний з інших між попереднім і D, тоді існує точка безперервного ряду, розташована між усіма цими нескінченними рядами крапок і D, причому так, що, кожна інша точка, відносно якої це істинно, знаходиться між цією точкою і D.

Візьмемо будь-яке число між 0 і 1, наприклад, 0,1; далі будь-яке число між 0,1 і 1, наприклад, 0,11; далі будь-яке число між 0,11 і 1, таке, какОДІ; і т.д. до нескінченності. Тоді, оскільки ряд дійсних чисел між 0 і 1 безперервний, має існувати мінімальне дійсне число, більше, ніж кожне

число цього нескінченного ряду. Це властивість, яку можна назвати арістотелічностью ряду, разом з його кан-товостью завершує визначення безперервного ряду. 123.

Властивість арістотелічності можна грубо задати наступним чином: континуум містить кінцеву точку, що належить кожному нескінченному ряду точок, які він містить. Очевидне природний наслідок полягає в тому, що кожен континуум містить свої ж межі. Але користуючись цим принципом, необхідно стежити за тим, щоб ряд був безперервним завжди, крім єдиного випадку, один або обидва його межі опущені. 124.

Наші ідеї знайдуть більш відповідне вираз, якщо замість точок на лінії ми будемо говорити про дійсні числах. Кожне дійсне число є в ка-когось сенсі межею послідовності, бо до нього можна нескінченно наближатися. Питання про те, чи є кожне число межею регулярної послідовності, може викликати сумніви. Але послідовності, що підпадають під визначення Аристотеля, повинні розумітися як включають всі ряди, незалежно від їх регулярності. Отже, мається на увазі, що між будь-якими двома точками можуть виникнути незліченні

 ряди точок. 

 125. Будь-яке число, вираз якого в десяткових знаках вимагає лише кінцевого числа десяткових знаків, є раціональним. Тому, ірраціональні числа припускають нескінченну (infinitieth) кількість десяткових знаків. Слово «інфінітезімальних» (нескінченно малий) є всього лише латинської формою (infinitieth - порядковий числівник), утвореної від infinitum, також як слово «сотий» (centesimal) утворено від centum. Таким чином, безперервність припускає нескінченно малі кількості. В ідеї подібних кількостей немає нічого суперечливого. При додаванні і 

 множенні їх безперервність не повинна порушуватися, а отже, вони в точності подібні до інших кількостей, крім того, що ні силогізм транспоніруемого кількості, ні висновок Ферма по відношенню до них незастосовні. 

 Якщо А - це кінцеве кількість, а і - нескінченне мале, тоді в певному сенсі ми можемо написати А + і = А Тобто, це так для будь-яких цілей числень. Але цей принцип повинен застосовуватися тільки в тому випадку, коли ми хочемо позбутися всіх, наявних нескінченно малих елементів найвищого порядку. Як математик я віддаю перевагу метод нескінченно малих методу меж, як незрівнянно більш легкий і не кишить пастками. Дійсно, останній метод, в тому вигляді, як він визначається в деяких книгах, включає теореми, які є помилковими; але це не так у випадку з формами методу, уживаного Коші, Дюамелем, та іншими. Вони розуміють вчення про межах так, що воно тягне за собою поняття безперервності і тому містить ті ж самі ідеї, що і вчення про нескінченно малих, хоча і в іншій формі. 

 126. Розглянемо один аспект арістотеліанского принципу, особливо важливий для філософії. Припустимо, що поверхня частково червона, частково синя, так що кожна точка на ній або червона, або синя; зрозуміло, ні одна частина не може бути одночасно і червоною, і синьою. Що ж тоді є прикордонним кольором між червоним і синім? Відповідь така: для того, щоб взагалі існувати, червоний, або синій повинні бути розподілені по поверхні; а колір поверхні - це колір поверхні в безпосередній близькості точки. Я навмисно користуюся розпливчастим стилем вираження. Тепер, оскільки частини поверхні в безпосередній близькості від будь-якої звичайної точки на звивистій кордоні наполовину червоні, наполовину сині, з цього випливає, що і кордон наполовину червона, наполовину синя. Аналогічним чином ми приходимо до необхідності вважати, що свідомість по суті своїй займає час, і те, що готівково в розумі в будь звичайне мить, - це наявне протягом моменту, в якому це мить має місце. Таким чином, даний наполовину минуле, а наполовину прийдешнє. І знову-таки колір частин поверхні на якомусь кінцевому відстані від якоїсь точки не має ніякого відношення до її кольору саме в цій точці; і, паралельно, відчування будь-якого кінцевого інтервалу зі справжнього не має жодного відношення до справжнього відчуванню, окрім як через заміщення . Візьмемо інший випадок: швидкість частинки в будь-яку мить часу є середньою швидкістю протягом нескінченно малого миті, в якому міститься цей час. Таким же чином моє безпосереднє відчуття - це моє відчуття в продовження нескінченно малої тривалості, що містить даний мить. 

 « Попередня  Наступна »
 = Перейти до змісту підручника =
 Інформація, релевантна "§ 5. Нескінченність і безперервність взагалі"
  1.  54. Безперервність ідей '
      нескінченно малі знання про-шлого, менш минула, ніж будь-яка точна дата в минулому. Отже, ми приходимо до висновку, що даний зв'язується з минулим за допомогою низки нескінченно малих реальних кроків. 110. Психологи вже висували гіпотезу про те, що свідомість з необхідністю обмолоту якийсь проміжок часу. Але якщо мається на увазі кінцевий проміжок, думка це неспроможне. Якби
  2.  Анаксимандр (611-546 рр.. До н.е.)
      нескінченне. Апейрон - це те, що залишається, якщо подумки відволіктися від всіх якісних і кількісних визначень речі. Але апейрон у Анаксимандра зовсім не безмежний, будучи нескінченним, він завершений, - так само як нескінченний і завершений Космос. Апейрон є всеохоплююче початок для простору і часу, само не має просторового і тимчасового характеру. Пера; означає щось
  3.  23. Бог безтілесний, він не відчуває, подібно до нас, і не побажав гріховного підступності
      нескінченний творець речей, ми ж - абсолютно кінцеві. 323 25. Слід вірити всьому, що нам дано в одкровенні Богом, нехай це і перевищує міру нашого сприйняття Так, якщо Бог відкриває щодо себе нам або іншим людям щось перевищує природні можливості нашого розуму, які, наприклад, таїнства причащання і святої Трійці, ми не відмовимося в це повірити, хоча і
  4.  Розвиток проти егоцентризму
      безперервному зменшенні егоцентризму? КУ: Так, в безперервному децентрірованность. Говард Гарднер дає прекрасний огляд досліджень в цій галузі, і я хочу прочитати вам коротку цитату з його роботи. Він починає з вказівки на той факт, що розвиток взагалі відзначено «зниженням егоцентризму». Він пише: «Маленька дитина повністю егоцентричний, це не означає, що він егоїстично думає
  5.  § 1. Приклади третинної
      нескінченні ряди репрезентацій, кожна з яких репрезентує попередню, по всій ймовірності, мають в якості межі абсолютний об'єкт. Значним репрезентації не може бути ніщо, крім репрезентації. Насправді, вона є не що інше, як сама репрезентація, сприйнята без зайвих покривів. Але від цих покривів ніколи не можна відмовитися повністю; вони просто замінюються чимось більш
  6.  § 5. Природа простору 26.
      нескінченність, відповідна лінія на іншій площині проходить від с KD і потім до е>, а від неї до / Однак Ч ч ч ця друга лінія може пройти через / к а; і саме тут друга лінія досягає А. Ми тому стверджуємо, що перша лінія проходить через нескінченність, і що всяка лінія приєднується до самої себе зразок овалу. Геометри говорять про частини ліній на нескінченному відстані як про
  7.  Книга III Про самогубство як соціальне явище взагалі
      взагалі
  8.  § 16. Особистість.
      нескінченність і в цьому полягає невичерпність сутності суб'єкта індивіда. Буває, що у індивіда з'являється два або більше однорівневих «Я» одночасно, тоді настає роздвоєння або навіть розтроєння особистості, але це вже область психіатрії. Що ж таке «Я» у повному, але внутрішньо нескінченному обсязі? Це особистість. Якщо роздвоєння особистості є випадок психіатрії, то суперечливість
  9.  ЛОГІКА І ЗАКОНОМІРНОСТІ РОЗВИТКУ НАУКИ
      безперервного по-следо ва но го на ко п ле ня но вих фак тів та ідей має не ба га прихильників в даний час. Концепція Томаса Куна (1922 - 1996) використовує поняття парадигми, під яким розуміється «визнані всіма наукові досягнення, які протягом визна-де ле но го ча су дають мо дель по ста нов ки про блем та їх ре відно син науковому співтовариству» . Прикладами парадигм є, в
  10.  36. Бог - першопричина руху; він постійно зберігає в світі однакову його кількість
      безперервно зберігає в матерії рівну кількість
  11.  Анаксимен (586 - 525 рр.. До н.е.)
      нескінченного. Це і є його знамените вчення про згущення і розрідженні, що лежать в основі всякого руху і зміни "[18, с.120]. Безтілесні повітря символічно вказує на ідеальний характер першооснови. Анаксимен зупиняється на такій властивості повітря, як здатність згущуватися і разрежаться. Саме це властивість повітря лежить в основі різноманіття матеріального світу. Речі різні
енциклопедія  заливне  український  гур'ївська  окрошка