НА ГОЛОВНУ

Безпека життєдіяльності та охорона праці || Хімічні науки || Бізнес і заробіток || Гірничо-геологічна галузь || Природничі науки || Зарубіжна література || Інформатика, обчислювальна техніка та управління || Мистецтво. Культура || Історія || Літературознавство. Фольклор || Міжнародні відносини та політичні дисципліни || Науки про Землю || Загальноосвітні дисципліни || Психологія || Релігієзнавство || Соціологія || Техніка || Філологія || Філософські науки || Екологія || Економіка || Юридичні дисципліни
ГоловнаФілософські наукиФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Д.Д.Мордухан-Болтовской. Філософія. Психологія. Математика. М.: Срібні ніті.-560 с., 1998 - перейти до змісту підручника

§ 8. Арно і Рамус.

Те, що якщо не сам Рамус, то його сучасники, котрі мислили так, як він сам, залишили слід в математичної думки, можна зробити висновок з того, що ніхто з нас не буде користуватися визначеннями на кшталт визначення 4 -го III книги "Начал":

"У колі прямі називаються рівновіддаленими від центру, коли від центру проведені перпендикулярні до них суть рівні", а буде спершу визначати відстань точки від прямої взагалі.

Не будемо говорити:

"Відрізок (сегмент) кола є той, який міститься [між] прямою і колом кола", а визначатиме сегмент взагалі і т. д. Схема Рамуса була забута, але критика порядку положень "Почав", або, вірніше, засудження безсистемності останніх не було забуто.

За Рамус через одне століття послідував Арно "1. Це вже не коментатор Евкліда. Він ие намічає порядок теоремам, перераховуючи їх разом зі своїми коментарями, він намагається дати ряд положень з якими обгрунтовуються їх доказами в порядку, визначеному деякими загальними принципами.

Час Арно перейнято вже іншими настроями.

Це час розквіту раціоналізму.

Це час, коли центр ваги був перенесений з визначень на аксіоми, на ті очевидні істини, які в очах раціоналістів суть свого роду одкровення понад, що відкриваються нашому розуму безпосередньо, як тільки розсіється навколишній туман чуттєвості.

Ці сто років виявилися цілком достатні , щоб привести до свідомості наю, що логіки класів недостатньо, що необхідна ще логіка відношенні, що ієрархію істини слід будувати, грунтуючись не на супідрядності виду класу, а иа зростаючому ускладненні відносин.

Не можна сказати, щоб Аріо строго тримався цієї точки зору, іноді він стоїть ще на точці зору Рамуса. Евклід, на думку Арно, не йде від більш простого до складнішого, бо в перших чотирьох книгах він викладає ряд теорем на площині, доходячи вже в першій книзі до magisterum matlieseos (Повелителя математичних наук (лат., метаф.)) - теореми Піфагора.

У п'ятій книзі він раптом повертається до теорії пропорції, що відноситься до всіх величинам.

Так що, він іде від приватного до загального, замість того, щоб йти від загального до приватного.

Від більш складного - фігур, наприклад, трикутників - він йде до простішого - паралельності і перпендикулярності двох прямих, замість того, щоб від більш простого - вивчення взаємин двох прямих - йти до складнішого - до фігур, обмеженим трьома прямими. В 6-й книзі Евклід повертається до плоских кривих, але не для того, щоб покінчити з цими речами, а щоб в 7, 8, 9 книгах зайнятися арифметикою.

Але принцип руху від простого до складнішого вельми часто знаходиться в антагонізмі з принципом двшкенія від загального до приватного.

З точки зору раціоналістів XVII століття, крива завжди є щось більш складне, ніж пряма, бо крива розкладається на нескінченне число прямолінійних елементів. За планом Аріо, вивчення кривої взагалі має йти у всякому разі, після вивчення прямій.

У поглядах на криву особливо яскраво виступає різниця між математичними умами цих двох епох. Для Рамуса лінія - це насамперед клас, осяжний прямі і не прямі (криві); для Арно ж лінія це насамперед сукупність прямих, що знаходяться в деяких вза - нмоотношеінях "2.

Крива - носій точок, раніше не змішувалася з сукупністю виробників "- з пушетуалом; в очах же прихильників методу неподільних, саме, має місце це змішання.

Цей погляд все різкіше і різкіше виступає, поки метафізика неподільних, нарешті, не наводиться в лабіринт нісенітниць.

У де Лакайля "1 пряма визначається так:

" Кінцева пряма лінія - це ряд нескінченного числа нескінченно малих прямих, які окремо прямо покладені без всякого згинання, без нахилення один до одного, крива - ряд нескінченно малих, що мають різне становище ".

Це дуже характерне визначення.

Це не раміческое визначення per genus et differentiam.

Не думайте, що перша частина цього визначення - грубий circulus vitiosus ^, в якому пряма визначається за допомогою прямої.

Нескінченно малий прямолінійний відрізок тут - деяка концепція розуму, але не чуттєвий елемент, з якого складається як пряма, так і крива.

Тут визначення обіцяє розкрити сутність визначається об'єкта, його внутрішню структуру: пряма цілком визначається двома точками, вона найкоротша [лінія] між двома точками ит.д, - це все властивості, вже випливають з її структури та ні в якому разі не можуть служити визначенням прямій.

Предпослан вчення про величини взагалі, Арно насамперед розглядає прямі, а зовсім не лінії взагалі.

Паралелізм ліній взагалі для нього не просте поняття, а поняття розкладені. Простим є паралелізм прямих, а паралелізм кривих розкладається на нескінченне число параллелизмов між прямолінійними нескінченно малими елементами, на яких розкладається крива.

Як і у Рамуса кут фігурує у двох видах: як lineatum і planum. Кут - lineatum, поміщається раніше кута planum, тому що в першому випадку, ми маємо більш просте взаємовідношення двох прямих, між тим як у другому випадку - взаємовідношення двох прямих і площини.

Але на противагу Рамус, термін "кут" Арно відносить до кута lineatum, а до кута planum.

Це визначення дуже типово для тієї епохи і різко відрізняється від раміческіх визначень. Це - опис характерних властивостей, які чистий розум повинен за допомогою свого роду рефлексії побачити: "Прямолінійний кут, говорить Арно, це площа, укладена між двома прямими, що сходяться в одній точці з того боку, куди вони зближуються, необмежені і невизначені (indefinie et indeternminee) по одному з вимірів, а. саме, тому, яке відповідає довжині прямих його обіймають, і певний по іншому [вимірюванню] за допомогою пропорційних частин кола, центр якого точка, де сходяться ці прямі ". Це визначення, ймовірно, веде своє походження від поглядів Рамуса, чужих "Початкам" Евкліда і, в свою чергу, з нього відбувається визначення кута Бертрана Женевського, що увійшло в багато підручники лежаід-ровского типу ®.

Змішані кути Гасанов і кут торкання, так що турбувала математиків XVI століття, про який ми говоритимемо нижче, зникли в XVII столітті.

Згідно Арно, кут представляє більш просте взаємовідношення елементів, ніж трикутник, де ми маємо не два, а три елементи, тому і вивчення кутів має вестися раніше вивчення трикутників.

Кути вивчаються за допомогою дуг і хорд (або синусів).

Зараз же за визначенням кута Арно встановлює поняття підстави кута, тобто прямої, що з'єднує дві точки иа сторонах кута (так-леї. як Рамус, але з тією різницею, що Рамус говорить про заснування кута взагалі, а Арно обмежується найпростішим прямолінійним кутом):

Справжньою мірою кута є дуга кола, але зважаючи на неможливість вимірювання кривої доводиться вимірювати кути синусами і хордами.

Арно знаходить необхідним говорити про всіх трьох родах вимірювання кутів. За теоремою про прямий пропорційності кутів і відповідних дузі слід теорема про хордах, що відповідають рівним і нерівним кутах.

Арно доводиться (як Рамус), не називаючи це своїм справжнім ім'ям, доводити 2 випадки конгруентності трикутників.

"Два нерівносторонні кути рівні, якщо відповідні сторони і підстави рівні". Два рівних і рівносторонніх кута мають рівні підстави ".

Від цих недосконалих методів слід перейти до виміру дугами кіл, але з центрами вже не в вершинах, тобто розглянути главу про вписаних і описаних кутах.

Від вивчення кутів, тобто площ, обмежених пересічними прямими, Арно переходить до вивчення паралельних просторів або смуг, утворених що не перетинаються прямимі67 (espaces paralleles) які видаються йому, як тип більш складного взаємини, ніж те, яке дається площиною і двома пересічними прямими, (бо вводиться обмеження, якого раніше не було).

Як при вивченні кутів розглядалися їх підстави, так при вивченні паралельних смуг повинні розглядатися відрізки прямих між ними .

Як синусу, так і хорді відповідає відстань мез / СДУ паралельними.

Підставах двох кутів відповідають прямі равіоіаклоненние до сторін двох смуг.

Основним положенням теорії пропорційних ліній є наступне:

"Коли дві прямі равнонаклонени у двох паралельних смугах, вони відносяться між собою, як перпендикуляри цих смуг (тобто широти останніх) і як їх видалення від перпендикулярів ".

Відзначимо, що в да льнейшем викладі цієї глави у Арно молено знайти доказ основний теореми теорії пропорційних ліній (про відрізки відсікаються паралельними на двох пересічних прямих), якої не існувало і у Евкліда, і котрой немає у Лежандра і яке тільки починаючи з Лакруа ® входить до геометричні підручники.

За теорією пропорційних ліній по Арно, слід перейти до того, що утворено у всій визначеності за допомогою прямих, т.е . до прямолінійним фігурам.

Подальший порядок очевидний: спершу слід розглядати фігури самі по собі, потім - у порівнянні з іншими.

Слід було б очікувати, що за трикутниками послідують чотирикутники і, нарешті, багатокутники.

Бо перший простіше другого, другого третього і т.д., і багатокутник можна розглядати що складається з трикутників.

Але тут виступає інший принцип - від загального до окремого - і Арно спершу говорить про фігури взагалі, повідомляючи деякі відомості про вписаних і описаних правильних багатокутниках.

Тільки в 13-й книзі у Арно йдеться про конгруенції трикутників, і, звичайно , все виявляється вже готовим, і тільки доводиться отриманий в попередніх книгах матеріал перекладати на мову трикутників.

Арно доводить теорему про те, що більшому куту відповідає більша сторона, описуючи окружність близько трикутника і посилаючись иа то, що більшою дузі відповідає велика хорда.

Цікаво тут зазначити, що в XVIII столітті, коли у викладі підручників більшою пли щонайменше позначався порядок Аріо (orclo Artioldianus) 4 *, замість звичайного евклідового доведення теореми про сумі кутів трикутника, проводилося доказ того ж, за допомогою описаного кола і посиланням иа теорему про вписаних у коло кутах.

У теорії трикутників виявляється знову тенденція йти від загального до приватного, наприклад від трикутників загального типу до рівнобедреного трикутника.

Геометрія Арно закінчується визначенням площ і, таким чином, є не закінченою, представляючи тільки зразок для побудови повного курсу геометрії, згідно проведеним у ній принципам.

Новий порядок вимагає від Арно визнання за аксіому положення:

"Якщо дві точки прямої одно відстоять від двох точок А і В, то те ж стосується і до всіх точок [прямий]".

Але цього мало. Одна ця аксіома ие може замінити перший случи конгруентності трикутників, доказуваного наложімостью, якої Аріо намагається ізбегнуть70.

Необхідно ввести таки найбільш просте положення про конгруентність, що відноситься до трикутниках, настільки просте, щоб, відповідно до вимог Аріо, минаючи процес накладення, можна було б видати його за становище очевидне.

Так як у першій книзі з причин, які ми вище виклали, Арно знаходить недозволеним говорити про трикутниках, це положення формулюється так, що слово: "трикутник" абсолютно избегается.

При цьому, положення це навіть не висунуто, як особлива аксіома, і зазначено в Avertissement ".

"Це те ж саме, говорить Арно, міркувати про двох похилих прямих, розглядаючи нх або проведеними з однієї точки на одну пряму, або з двох різних на дві різні прямі, за тієї умови, що відстані до цих точок від прямих рівні ", що зводиться до утвердження рівності катетів прямокутних трикутників, у яких інші катети і гіпотенузи рівні.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " § 8. Арно і Рамус. "
  1. МІРКУВАННЯ про метафізику
    Оригінал цього дуже важливого та змістовного твори Лейбніца не має заголовка. Воно було закінчено до початку 1686, що випливає з листа автора до Ландграфа Ернсту Гессен-Рейнфельскому від 1 - 11 лютого 1686, в якому він повідомив тези цього твору, названого їм тут «Un petit discours de la metaphusique». Як вважає П'єр Бюржелен, що видав дисертацію про це
  2.  Нестійкий дуалізм картезіанської метафізики
      Ми розглянули ряд положень метафізики Декарта. Підведемо короткий підсумок огляду цього центрального вчення філософії Декарта. 61 Основоположне поняття якої метафізики - поняття субстанції, яке пройшло через всю попередню історію філософії. Воно виражало насамперед незмінну цілісність речі, осягаємо розумом всупереч її безперервно мінливим ознаками, фиксируемим почуттями.
  3.  Лейбніц - МАЛЬБРАПШУ Ганновер, 27 грудня 169І р.
      арность невігласів або заздрісних умів да не спинить Ваших шанувальників від блага, яким Ви можете їх обдарувати, не ставши при цьому менш багатим; істина ж, яку Ви полюбили, не терпить, щоб її ховали, як скупар ховає скарб. Те, що я маю честь Вам зараз говорити, Ви, пане, розумієте але гірше за мене, і я впевнений, що Ви не посетуете на мене за те, що я з такою наполегливістю спонукаю Вас
  4.  ЛИСТУВАННЯ З І. Мальбраншем
      Листування була вперше видана в 30 екземплярах Ф. Дідо («Lettres au P. Malebranche et au P. belong», Paris, 1820). Потім вона вийшла у виданні В. Кузена («Philosophie moderne». Bruxelles, 1841). У Герхардта видана після звірки з оригіналом. Листування включає 16 листів: 10 листів Лейбніца Мальбраншем і 6 відповідь листів Мальбранша. Микола Мальбранш (1638 - 1715) - великий філософ, а також математик,
  5.  Передмова 1
      ... Хіба не дивна здатність людини світ пізнавати? Але світ адже укладений в кожній людині, Бо кожен з нас - мале подобу Бога (лат.). Очевидно, позднелатінськоє цитата з невідомого джерела. - 49. 2 Див вступить, ст. до наст, тому, з. 38. - 54. 3 Яким шляхом последую я в житті? (Лат.) - слова нозднелатін-ського поета Авсонія. - 56. 4 «Про згоду наукового знання
  6.  Глава XXVI ЗАСУДЖЕНІ ІСТИНИ
      Ось пристойне число помилок, вряди впали самі великі люди і самі вчені корпорації, бо найбільші і самі високоповажні генії бувають до якоюсь мірою відзначені людською слабкістю. До цього переліку можна було б додати вироки, винесені Галілею. Дві кардинальські конгрегації засудили його за те, що він захищав рух Землі навколо Сонця - рух, у той час вже майже доведене
  7.  Альбігойські війни 1209-29
      зроблені за ініціативою папства хрестові походи північно-французьких лицарів на південь Франції проти альбігойців. Наприкінці воєн до хрестоносцям примкнув зі своїми військами і французький король Людовик VIII. Були розгромлені альбігойці і приєднана до королівського домену частина Тулузького графства. *** Альбігойські війни (1209-29) - хрестові походи на південь Франції проти альбігойців. Наприкінці 11 -
  8.  Про приречення
      Один з творів, написаних Лейбніцем по-німецьки (їх значно менше, ніж латинських і французьких). Спочатку опубліковано в названому вище виданні Гурауера (II 48-55). Потім відтворено у Герхардта (VII 117-123), звідки воно і переведено для даного видання. За Гурауеру (з деякими скороченнями) даний уривок відтворений у Кассирера (II 129-134), де він озаглавлений «Von dem
  9.  XLI. Про Конфуція
      Китайці не могли дорікнути себе ні в якому марновірстві і шарлатанстві, звичайних у інших народів. Китайський уряд показувало протягом більше чотирьох тисяч років і продовжує показувати людям зараз, що можна управляти ними без того, щоб їх обманювати; що ні брехнею треба служити богу істини; що марновірство не тільки марно, але й шкідливо для релігії. Ніколи шанування бога не було настільки чистим
  10.  Боротьба за Північні Апенніни
      Після подій кінця червня найгірше для групи армій «Південно? Захід» залишилося, у всякому разі, позаду, і вона поступово знову набувала твердий грунт під ногами. Це пояснювалося не тільки зосередженням всіх її сил, що здійснювався, правда, повільно, але в рівній мірі і значними змінами в угрупованні противника. Через 10 днів після оволодіння Римом командувач військами союзників на
  11.  Лейбніц - МАЛЬБРАІШУ Ганновер, 13 січня 1679
      Пишу Вам з двоякою метою: по-перше, щоб зберегти для себе переваги нашого знайомства, а по-друге, щоб рекомендувати Вам цього німецького дворянина б, якого глибокий розум, гостроту суджень і допитливість Ви без праці зумієте оцінити. Я познайомився з Вашими «Християнськими бесідами» завдяки люб'язності м-ль принцеси Єлизавети в, чиї пізнання не поступаються її знатності; вона
  12.  Картезіанству У XVII
      в. Не буде перебільшенням стверджувати, що картезианство як сукупність філософських і наукових ідей стало в XVII в. - І не тільки у Франції - найвпливовішим напрямком. Це вчення далеко не однозначно. Його компоненти відбивали різні вимоги життя, умонастрої різних соціальних сил і духовних устремлінь філософів, які дотримувалися абсолютно несхожих і часом навіть
  13.  ПОКАЖЧИК ІМЕН83
      Абдаллах ібн-Алі 362 Абдес 317 серпень см. Октавий Августин, Аврелій (Блаженний) 196, 309, 333, 416,489 Аверроес (ІГбн Рошд) 76, 207, 545 Авіценна (Ібн Сіна) 545 Аврін 471 Агід 430 Агрпкола, Гней Юлій 228. 428 Аддпсон, Джозеф 133, 289 Пекло і 451 Адріан, Публій Еллій 196, 478 Олександр Македонський 79, 84. 86. 103, 110, 115, 188, 190, 234, 293. 308, 328, 361, 363, 366, 388! 450. 459, 473,
  14.  ПРИМІТКИ ДО ЧОЛІ XXX 1
      арном смаку французів відповідають, що у Франції все готують на єлеї. Інші списують те, що до них говорили тисячі інших письменників; вони ніколи не досліджували змін, що відбуваються в характері народу завдяки змінам у державному управлінні та в звичаях. Колись про французів було сказано, що у них веселий характер, будуть це повторювати вічно. При цьому не помічають, що мінливості
  15.  Попереднє міркування про згоду віри і розуму 1
      Всі ці хвилювання душ і настільки великі нещастя Проходять, засипані жменею праху (лат.). - 77. 2 Тридентський собор римсько-католицької церкви (1545-1563) проходив в умовах великих успіхів Реформації (лютеранство, кальвінізм) в різних країнах Західної Європи. На соборі були затверджені догмати про первородний гріх, про чистилище, про незаперечності авторитету папства (навіть по відношенню до
  16.  Мальбранш - Лейбніца » Паріж1 останній день липня 1679
      Автор «метафізичних роздумів» - пан абат де Ланьон. Хоча він не поставив свого імені, він не приховує цього. Мені це відомо, так як він говорив про це мені та деяким іншим особам ^ з якими я знайомий. Так що, пане, будь ласка, не приписуйте мені цей твір. Німецький дворянин 33 поїхав і, здається, збирається відвідати Вас. Кажуть - хоч я і не вірю цьому, - що він знайшов
  17.  1. ЖИТТЄВИЙ ШЛЯХ І ТВОРИ Р. Декарта
      Рене Декарт1 народився в маєтку своїх аристократичних предків у південній Турени 31 березня 1596 З 1604 по серпень 1612 Декарт був вихованцем заснованої Генріхом IV привілейованої колегії Ла Флеш, де під керівництвом отців-єзуїтів вивчав стародавні мови, риторику, поезію, фізику, математику і особливо грунтовно - філософію. 1612-1628 рр.. були для Декарта часом його перших подорожей,
енциклопедія  заливне  український  гур'ївська  окрошка