НА ГОЛОВНУ

Безпека життєдіяльності та охорона праці || Хімічні науки || Бізнес і заробіток || Гірничо-геологічна галузь || Природничі науки || Зарубіжна література || Інформатика, обчислювальна техніка і управління || Мистецтво. Культура || Історія || Літературознавство. Фольклор || Міжнародні відносини та політичні дисципліни || Науки про Землю || Загальноосвітні дисципліни || Психологія || Релігієзнавство || Соціологія || Техніка || Філологія || Філософські науки || Екологія || Економіка || Юридичні дисципліни
ГоловнаФілософські наукиФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Д.Д.Мордухан-Болтовской. Філософія. Психологія. Математика. М.: Срібні ніті.-560 с., 1998 - перейти до змісту підручника

§ 6. Алгебраїчному аксіоматика Херігона.

Наведемо алгебраїчні аксіоми Херігона. а = Ь

а = с Iab) c = db = d

а = с

"а? a> bfa> C

с = а

b = с

а = bl

Ilia. 1) c = d ac = bd

M u П-1. IHa. b) a =-b ki-b = ba> bc> d

ab 1 D c = b a + + d

IVa. c). a + с> b -! - d

a = bl

IVa. b) c? 6d | a + c ^ b + d

a st bl

Va. 1) c = df a> bl

Via. b) a> b} 2a> 2b via. c) a = 2b

Va-c) c b ~ d

a = 2c

a = b

Vla.l) b = 2cf a = 2c 1

VIa "d> al2cfb = 2C

a = b

a =-с 2

Vila. 1) i b =-с 2 od

a> b

Vila, b) a =-с 2

b = -d 2 b = с

b =-с 2

Vila, с) a = it

- a =-с 2

a = b

2

Vila, d) a = Ic 2 ab C * dl

-b J

a = bl ^ dj

XVa.b) a = b | (c + a) - (d + b) = cd

XVIIa .

(A - c) - (b - d) = d - з

XVIIIa. 1) J (ca) - (db) = cd (a_c) = i (bd)

a =-b 2

XX) I з =-d

2 a = 2c I

^ ^ b = 2d} () = 2 (}

а не> b] XXIa -1) ane Якщо строго розрізняти символи 2 | 2 і snt 2 | 2 Fe n "= Ь" розуміти в другому сенсі, тобто брати а + b 2 | 2 з + db & d snt 2) 2 Fe

то не важко бачити, що I а!) випливає з III а, і II а (. На перший погляд видається дуже дивною аксіома VI а, киць нібито тотожна I а.

Щоб вирішити цю загадку, слід зауважити, що 2с результат деякої операції ІАД з-подвоєння.

Щоб засвоїти собі особливе значення цієї операції, слід усвідомити, що представляла з себе алгебра в часи Херігона.

Поняття геометричної величини виконало велику еволюцію. Коли в алгебрі пропонують рівняння АХ1-I-Ьх + з = О, то а, Ь, с вважають числами, х (невідоме) теж числом. Але в XVII і XVIII ст. алгебраїчна величина це - рід, осяжний два види: безперервні величини, якими є геометричні довжини, поверхні і обсяги, дискретні величини, т. е. числа, причому поняття числа не йде далі раціональної області.

Поєднання ab розуміється або як результат множення числа а на Ь, або як результат множення відрізка а на Ь, причому розуміння множення відрізків піддається метаморфозу. Спершу це утворення прямокутника, побудованого на а і b (між а і Ь, як каже Евклід) - результат ab - площа цього прямокутника, пізніше ж (у Декарта) це відрізок, одержуваний побудовою на OA і ОС: відкладається OA = а, ОС = I. наводиться АС на ОС, на OA відкладається ОВ = b і з В проводиться BD | | АС, тоді OD = х = ab, тобто х: а = b: I181.

Алгебра можлива тому, що нормальні закони операцій: додавання, віднімання, множення, ділення відрізків - ті ж, що у відповідних дій над числами.

Звернення алгебри в чисельну алгебру сталося з установкою взаимообразно відповідності між числами і геометричними об'єктами.

Стоячи на такій точці зору, Херігон природно повинен був виділити подвоєння, як особливу операцію над величинами, так як для безперервних величин (наприклад, відрізків) множення зводиться до послідовних подвоєння, а саме подвоєння є геометрична операція, що не вироблена ні в якому разі над двома відрізками, а тільки над одним. Розподіл ж навпіл, не засноване на теорії подібності, докорінно відрізняється від розподілу на 3, 4, 5 частин.

Цікаво порівняти систему аксіом Херігона з системою Фортунатов, що відноситься вже до XVIII століття. II. а, Ь, с частині ш ш> a, in> b, m> с

III. а

I. а, Ь, с частині m 111 = а + b + с а + b + с = m VII.

VI.

V.

IV.

b = c

с = b

a = * b

b = с

a = с b = d з ф d

a = bd = с a = d

a = bb = a

a = с

a = bb = a з = ??a

a = bb = a з = ??dd = с a = с

a = b

г

vin.

IX.

b = db = alb * c і C ~ dlb * dxa = Ha + c = b + d

а Ф з

a ^ ca = bl а не> b I, a> b]

". c = d Ucbd ХІІ.аіе <ь a = b Ж ^ da + c> b + da> bc = d

XIV.

a - о> b - <Тут а = Ь безумовно відрізняється від j І, причому остання

vb = iiJ

символіка ставиться на місце херігоновскнх Snt 2 | 2 Fe

Перша аксіома Евкліда (і разом з тим і перша аксіома Херігона) у Форгунато розбивається на три: IV , VI, VII.

Останні дві він міг би сплавити в одну:

а = Ь |

b = а [Ь - з

с = aj с = b

а = с j

Отчого аксіома VI не підводить як окремий випадок, під IV , замінюючи d на а?

Тому що в другому випадку ми мали б три умови: а = b, а = с, а = а, з іншим порядком членів і з відсутньою умовою.

Якщо віднести ці аксіоми до відрізків, то геометричне їх значення буде зовсім по-різному:

в VII а накладається на b, ab на а, і в обох випадках має місце збіг, з накладається на а - стверджується збіг при накладенні з иа Ь,

в VII а на b, b на а, а на с і затверджується збіг при накладенні b на с,

в IV а на b, d на с і в обох випадках збіг, крім того а на d і тоді збіг - стверджується збіг при накладенні b на с.

До цього часу колекціонування очевидних аксіом виявляється математикам абсолютно не по силам, так як число їх швидко росте, проблему про збирання всіх очевидних аксіом доводиться замінити проблемою про збирання тих, з яких можна вивести всі положення, але при цьому зовсім не ставиться умова незалежності цих постулатів.

Необхідність скорочення їх числа викликає до життя аксіому а = а, яка може мати сенс і бути визнана за очевидну істину при зміні самого сенсу взаємини рівності між а і Ь, яке повинно вже розумітися не в сенсі безпосереднього їх взаємини, а взаємини яких -то двійників, створюваних думкою (відрізок накладається сам на себе).

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна "§ 6. алгебраїчну аксіоматика Херігона."
  1. § 7. Ідеографія Херігона,
    алгебраїчну сімволшу. а п b 2 | 2 з п da: b = c: d або а ті b% а л b 312 з 7i di-> - lb da Tib 213 C7t di-<- lb d Ідеографія Херігона не єдина. Нам важко привести словничок Угхтреда ™ за технічними умовами друкування. Він дає символи для дорівнює, більше, менше, ие більше, не менше, дорівнює або менше, дорівнює або більше, пропорції, більше відношення, меншу, безперервної
  2. IV. Аксіоматика ХУП століття. (Перша половина ХУП століття).
    IV. Аксіоматика ХУП століття. (Перша половина ХУП
  3. § 5. Херігон і Гільберт.
    аксіоматика найменше цікавиться. Він ще цікавиться тим, чим цікавився схоластик, який дивився вглиб понять і различавший їх не стільки з точки зору операціонально, скільки з точки зору внутрішнього змісту. Існують геометричні об'єкти, які відіграють абсолютно однакову роль у формально-логічних опервдіях, логічні еквіваленти щодо більшої або меншої частини аксіом,
  4. § 1. Історія повий аксіоматики.
    аксіоматики і її частиною вирішені, частиною невирішені проблеми. Ми стоїмо тепер там , де логіка сходиться з психологією, де вже відчувається розчарування в ідеалах чисто логічної математики, де психологічний аналіз розкриває, що те, що представляється чисто логічними операціями, виявляється ілюзією, що приводить до суто психологічної проблеми. Минуле завжди піддається
  5. § 3. Різні розуміння характеристик.
    алгебраїчної величини вона бере тільки перший. Греки намагалися переконувати, в той час як індуси прагнули тільки показати. І ті й інші виводили числові тотожності, як (а + b) 2 = а2 + 2ab + Ь2 з геометричного креслення, ио з тією різницею, що у греків креслення супроводжувався словесним доказом, а у індусів він сам говорив. Але чи говорив він про зовсім одному і тому ж АБО ні?
  6. § 8. Пеапо і Херігоі.
    аксіоматиці померти, щоб на її місці народилася нова аксіоматика. У Лейбніца схоластична проблема про розвідки істинного правильного визначення замінюється проблемою про розвідки досконалого визначення. Проблему цю він формулює так: Передбачається визначення всіх властивостей, по Лейбніцу - термінів, заданих - знайти краще определеніе193. У чому ж полягає вчинене
  7. § 22. Просторова пам'ять математика.
    алгебраїчна, тобто пам'ять до алгебраїчних формулами і цифрам, Але ми думаємо, що пам'ять алгебраїчна нічим суттєво не відрізняється від геометричної, і представляє ту ж просторову пам'ять. Ми адже запам'ятовуються не зоровий образ формули (а-I-Ь) 2 = а2 і-2ab + Ьг 2 і 2 а - b = а + b і т.д. а-Ь а запам'ятовуємо ці формули абсолютно так само, як геометричні побудови,
  8. § 5. Гербарт і Бальцапо.
    аксіоматиці взагалі, бо по суті філософія Гербарта - це метафізична аксіоматика. Больцано301 дає в чистій математиці те, що намагався дати в метафізиці Гербарт. Він виправляє поняття і намагається привести за допомогою вже виправлених понять в рух логічний апарат над чисто логічним змістом. Звичайно, насамперед повинна піддатися радикальної переробці нескінченність.
  9. 1. Конічні перетини античних математиків
    алгебраїчними формулами, звертаються в частині формального апарату , яким користується аналітична геометрія нині, абсолютно так само, як в операціях методу неподільних, відповідних операціями диференціювання та інтегрування, не можна вбачати чужі цьому методу ідеї сучасного аналізу. Слід розрізняти історію кривих другого порядку, або, вірніше сказати, конічних перетинів, і
  10. § 1. Ікони та Гіпоікони
    алгебраїчна формула є іконою, якою її роблять правила перестановки, асоціації та розподілу символів. На перший погляд може здатися, що називати вираження алгебри іконою значить впадати в довільну класифікацію; що алгебраїчний спосіб вираження можна з тим же і навіть з більшим правом вважати складним конвенціональним знаком. Але це не так. Бо головне відмітна
  11. ВІД АВТОРА
    аксіоматику літературознавства; орієнтиром тут служив вийшов в 1987 р. Літературний енциклопедичний словник. У відборі прикладів та ілюстративного матеріалу автор теж намагався бути практично корисним, тому й відбирав твори програмні, загальновідомі, що не вимагають спеціального перечитування. Два слова про структуру книги. Її перший , власне теоретичний і методологічний
  12. § 6. Негативні числа.
    алгебраїчні операції Віети. Методи Віети, звичайно, дуже примітивні в порівнянні з нашими, ио вони незвичайно цікаві як ембріони наших досконалих методів. Я вже помітив, що для учня важким моментом є розподіл на буквений коефіцієнт при невідомому. Цей момент і старим алгебраїстам.Їм не уявляю настільки простим, як нам, і Віета виставляє цю операції як
  13. ДОДАТОК програми спецкурсу "ФІЛОСОФСЬКІ ПІДСТАВИ МАТЕМАТИКИ" (для студентів)
    аксіоматика Евкліда. Органічний зв'язок неевклідової геометрії з теорією відносності. Приреченість спроб повної формалізації математичної науки і теорема Геделя про неповноту формальних систем. Вступ "ідеальних елементів "як результат вимог аксіоматичного методу. Межі його використання. Проблема існування в математиці. Багатоаспектність цієї проблеми. Предмет
енциклопедія  заливне  український  гур'ївська  окрошка