НА ГОЛОВНУ

Безпека життєдіяльності та охорона праці || Хімічні науки || Бізнес і заробіток || Гірничо-геологічна галузь || Природничі науки || Зарубіжна література || Інформатика, обчислювальна техніка та управління || Мистецтво. Культура || Історія || Літературознавство. Фольклор || Міжнародні відносини та політичні дисципліни || Науки про Землю || Загальноосвітні дисципліни || Психологія || Релігієзнавство || Соціологія || Техніка || Філологія || Філософські науки || Екологія || Економіка || Юридичні дисципліни
ГоловнаФілософські наукиФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Д.Д.Мордухан-Болтовской. Філософія. Психологія. Математика. М.: Срібні ніті.-560 с., 1998 - перейти до змісту підручника

5. Алгебраїчна та аналітична геометрія

Аналітична геометрія в тому вигляді, як ми її знаходимо у Декарта і Ферма, використовує, як побачимо нижче, тільки другий основний принцип і має на меті не аналітичний доказ геометричних теорем, а графічне рішення рівнянь. Тому геометрію Декарта, мабуть, краще називати не аналітичної, а алгебраїчної, а може бути, ще краще - геометричній алгеброю.

До того ж сенс термінів "аналіз" і "синтез" сильно коливається. У методиці слідом за Паппом аналіз розуміється звичайно як прийом знаходження докази (або рішення) шляхом сходження від наслідків до причин; синтез же, навпаки, втягає від причин до следствіям9. Відповідно цим прийомам мислення відрізняються і два прийоми викладу. У цьому сенсі про аналітичний викладі, протилежному чисто синтетичному методу викладу в "Засадах" Евкліда, молено говорити лише стосовно до аналітичної геометрії в її розвинутій формі.

В іншому леї розумінні аналіз тлумачиться як вивчення цілого шляхом дроблення його на частини, а синтез як возз'єднання частин. У цьому сенсі говорять про аналіз нескінченно малих або про хімічні аналізі та синтезі. Хоча ці розуміння і різні, але, поза сумнівом, меледу ними існує логічний зв'язок; те, що ми знаходимо в цілому, ми Моле мислити обумовленим властивістю частин.

Але тлумачення названих термінів у першому сенсі перейшло в XVII в. в розуміння аналізу просто як алгебраїчної методи; рівняння при цьому розглядається як підстава властивостей геометричного об'єкта, наприклад, кривої, і сходження до рівняння тоді є сходженням від наслідків до причин.

Ми не Моле, однак, наполягати на тому, що геометрію Декарта слід назвати алгебраїчної, тому що при своєму зародженні алгебраїчна геометрія розумілася значно ширше; до неї ставилися всілякі алгебраїчні вирішення завдань (головним чином на побудову) , в яких ні перший, ні другий із згаданих принципів не використовуються. Алгебраїчна геометрія в широкому сенсі або алгебраїчні методи рішень задач зробилися можливими після винаходу Віетом буквеної алгебри.

При цьому виявилися два моменти: 1)

приведення геометричній завдання до рівняння, що визначає невідоме, від якого залежить вирішення завдання; коефіцієнти цього рівняння виралеаются через дані величини. Ця програма алгебри до геометрії; 2)

побудова кореня рівняння, яке, природно, вимагало вивчення побудови елементарних виралсеній. Це прілолсеніе геометрії до алгебри.

До аналітичної геометрії Декарта вже існувала алгебраїчна геометрія, та аналітична геометрія з'явилася системою спеціальних методів вирішення завдань алгебраїчної геометрії.

Слід особливу увагу звернути иа роботи Гетальді10, що приводить рішення задачі на побудову до рівнянь 2-й і вищих ступенів і заключающего, у разі уявних коренів, - про неможливість вирішення поставленого завдання, а у разі невизначеного рівняння - про незліченній мнолеестве рішень.

Марні спроби розв'язання рівнянь вище 4-го ступеня послу-лсілі причиною зсуву в самому розумінні рішення рівняння, яке стало розумітися не в сенсі конструювання (тобто побудови в радикалах), а в сенсі обчислення по наближенню або ж у графічному. В останньому випадку коріння стали визначатися відрізками, обумовленими точками перетину кривих, які викреслюються не тільки за допомогою циркуля і лінійки, наприклад, параболи, еліпса, гіперболи, конхоида та інших.

Цікаво відзначити, що математики XVII в. займаються побудовою складних виразів алгебри без зведення їх до простих. Звичайно, у багатьох випадках побудови виходять більш прості, ніж ті, які даються загальної методою. Слід ще зазначити, що алгебраїчний характер дослідження конічних перетинів витримується в XVII і XVIII ст. різними вченими в різній мірі, і багато хто користується тільки алгебраїчними позначеннями, ио НЕ алгебраїчними операціями.

Навіть у середині XVII в. античні методи перемішуються з Картезіанський: рівняння конічних перетинів виводяться з стереометричних міркувань, замість рівнянь використовуються незручні для подальших операцій пропорції, застосовується застаріла символіка і т.

д.

6 . Арифметизации в аналітичній геометрії

Заслугою Декарта іноді вважають арифметизации геометрії, приведення геометричних операцій до дій над числами. Але це невірно. Це було б можливо тільки в тому випадку, якби Декарт уявляв собі взаємно-однозначна відповідність між числами і геометричними ве-о

личинами, тобто якби він мав у своєму розпорядженні ірраціональні числа, хоча б не строго обгрунтовані, ио прийняті на віру. Але в його час цього не було, та й не могло бути. Однак можна сказати, що Декарт у своїй НЕ аріфметізіроваіной, а алгебраізірованной геометрії робить перший крок до аріфметізіроваіной геометрії. Тут він іде далі Ферма. Для Ферма "характеристики" а, Ь, с, сі ... являють собою, як для Віета і багатьох інших алгебраїстів, величини в загальному сенсі (uiagnitudines), тобто або безперервні геометричні величини, або дискретні числа. Звичайно, геометричні операції, що дають члени вище третього виміру, могли мати при цьому тільки формальний характер: над літерними виразами на кшталт а3Ь п т.п. допускалися звичайні операції, тобто по суті всі ці ГИПЕРГЕОМЕТ-рические операції і елементи грали ту ж роль, яку в даний час грають комплексні числа. Декарт же всі букви мислить не як числа,

як роблять усі математики, починаючи з Лежандра, а як відрізки, та операції

a ± b, ab,-мислить як операції над відрізками. Наприклад, побудова

с ab,.

Величини х = - видно з фіг. 5. з

Одним словом, Декарт поступає так, як Д, Гільберт, у своїх "Підставах геометрії", що будує числення відрізків з цілі обгрунтування теорії подібності та теорії пропорцій без аксіоми Архімеда.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 5. Алгебраїчна та аналітична геометрія "
  1. 1. Конічні перетину античних математиків
    алгебраїчними формулами, звертаються в частині формального апарату, яким користується аналітична геометрія нині, абсолютно так само, як в операціях методу неподільних, відповідних операціями диференціювання та інтегрування, не можна вбачати чужі цьому методу ідеї сучасного аналізу. Слід розрізняти історію кривих другого порядку, або, вірніше сказати, конічних перетинів, і
  2. Визначення кривої рівнянням і функції графіком
    алгебраїчними відрізками, тоді ще не проводилося. Такого роду прийоми могли увійти в геометрію тільки після знаменитого спору про негативні геометричних величинах на початку XIX в., Певним чином виявив право громадянства їх у
  3. 3. Фузіонізм античних математиків
    алгебраїчних рівнянь. По першому шляху йшов Декарт, по другому Ферма (незалежно від Декарта). В "Геометрії" Декарта чільне місце займало рішення так званої задачі Паппа. У цьому завданні дано за покладено то кілька прямих і потрібно знайти геометричне місце таких точок, що якщо з цих точок провести під даними кутами до даних прямим відрізки, то ставлення твори
  4. 3.7 Короткі висновки.
    Аналітичного рішення. Отримано загальний аналітичне рішення в квадратурі і приватне рішення при вирішенні задачі Коші. Нова модель найменшим чином в порівнянні з іншими, отриманими раніше, в процентному відношенні (від 5,4% до 11,7%) відхиляється від базової. Ідентифікація параметрів моделі проведена для конкретних значень вхідних вологості (1.7%
  5. § 22. Просторова пам'ять математика.
    Алгебраїчна, тобто пам'ять до алгебраїчних формулами і цифрам, Але ми думаємо, що пам'ять алгебраїчна нічим суттєво не відрізняється від геометричної, і представляє ту ж просторову пам'ять. Адже ми запам'ятовуються не зоровий образ формули (а-I-Ь) 2 = а2 і-2ab + Ьг 2 і 2 а - b = а + b і т.д. а-Ь а запам'ятовуємо ці формули абсолютно так само, як геометричні побудови,
  6. § 6. Алгебраїчному аксіоматика Херігона.
    Алгебраїчні аксіоми Херігона. а = Ь а = с Iab) c = db = d а = с "а? a> bfa> C з = а b = с а = bl Ilia. 1) c = d ac = bd M u П-1. IHa . b) a =-b ki-b = ba> bc> dab 1 D c = b a + + d IVa. c). a + с> b -! - da = bl IVa. b) c? 6d | a + c ^ b + da st bl Va. 1) c = df a> bl Via. b) a> b} 2a> 2b via. c) a = 2b Va-c) cb ~ da = 2c a = b Vla.l ) b =
  7. 7. Функціональне мислення і Декарт
    алгебраїчній формі деяка залежність між РМ і ОР. Аналогічна термінологія зберігається Віттом і для інших прямих, що у освіті кривої. При цьому те, що ми називаємо початком координат О, завжди є характерною точкою кривої. Директриса (по-іашему вісь Оу) є пряма, через О і теж характерна для утвореною при русі кривої. Слід зазначити, що
  8. § 1 Математика до всіх своїх дефініціям приходить синтетично, а філософія-аналітично
    аналітично; наприклад, коли філософ довільно мислить собі субстанцію зі здатністю розуму і таку субстанцію називає духом. На це я відповім: подібного роду визначення сенсу, який має слово, ніколи не являють собою філософських дефініцій, якщо ж вони мають називатися поясненнями, то вони тільки граматичні пояснення. Адже ніякої філософії не потрібно для того, щоб
  9. Література до лекції I На російській мові: 1)
    геометрії. Одеса. 1905-07. 7) Бонола. Неевклидова геометрія. 8) Вебер-Вільштейн. Енциклопедія елементарної математики. Т. 1.Матезіс. Одеса. 1909 . 9) Енршсес. Питання елементарної математики. 10) Ващенко-Захарченко. Початки Евкліда з прімечаніямімі. 11) Далеман. Проективна геометрія. Пер. Лагутінского. На французькій мові: 1) Peano. Formulaire de Mathemaliques. 2) Peano. Notations
  10. § 7. Ідеографія Херігона,
    алгебраїчну сімволшу. а п b 2 | 2 з п da: b = c: d або а ті b% а л b 312 з 7i di-> - lb da Tib 213 C7t di-<- lb d Ідеографія Херігона не єдина. Нам важко привести словничок Угхтреда ™ за технічними умовами друкування. Він дає символи для дорівнює, більше, менше, ие більше, не менше, дорівнює або менше, дорівнює або більше, пропорції, більше відношення, меншу, безперервної
  11. 2.3 Короткі висновки.
    аналітичного рішення. Пошук математичної моделі, що дає адекватне аналітичне рішення у вигляді функціональних залежностей, є завданням третього
  12. МЕТАФІЗИКА
    геометрії. Тому можна бути метафізиком, не будучи геометром. Метафізика забавніше геометрії - часто це роман розуму. В геометрії, навпаки, треба вважати, вимірювати. Це вічне незручність, і багато уми зволіли б, не стомлюючись, солодко
  13. ОСНОВНІ ВИСНОВКИ ТА РЕКОМЕНДАЦІЇ 1.
    аналітичного рішення. Результати чисельного рішення базової моделі , здійсненого методом кінцевих різниць при досить великій кількості вузлів сітки, можуть служити основою для оцінки точності математичних моделей, отриманих на основі базової шляхом введення різних припущень, 2. Представлено математичну модель сушильної установки, заснована на новому підході до
  14. АНАЛІТИЧНА ФІЛОСОФІЯ
    аналітичної філософії по праву вважається однією з відмінних рис інтелектуальної культури XX століття. Біля витоків цього напрямку філософського знання стояли англійські філософи Джордж Едвард Мур (1873-1958) і Бертран Рассел (1872 - 1970), а також німецький логік і математик Готлоб Фреге (1848 - 1925). Аналітична філософія успадковує традиції вивчення підстав знання - як у його
  15. 13. Початок історії кривих другого порядку
    аналітичної геометрії трактує тільки про прямий і кривих другого порядку. Рівнянням параболи, еліпса і гіперболи ми зобов'язані Декарту і Ферма, які, як ми бачили, підійшли до них з різних сторін. Але слід пам'ятати, що для них ці криві насамперед були конічними перетинами. Обидва вони користуються їх властивостями, виведеними стереометрическая, згідно Аполлонию. Можна сказати, що у них
  16. 4. «Ерлангенськая програма» у філософії і в історії філософії
    геометричних досліджень », що отримало назву« Ер-лангенской програми ». Клейн розглядає ієрархію різноманіть - просторів будь-якого числа вимірів і відповідних геометрій, поклавши в основу їх визначення поняття інваріанта, введене в математику за двадцять років до цього. В елементарній геометрії перетвореннями, переходами від одних змінних до інших служать насамперед
  17.  43. ФЕОДОР 1.
      геометрії. 3. Діоген Лаерт, II, 103: Феодору було двадцять. Перший - самосец, син Річка. . . другий - кіренец, геометр, слухачем якого був Платон, ср: Там же, III, 6 = 44 А 5. 4. Феодор - персонаж діалогів Платона «Теєтет», «Софіст», «Політик». Ср, наприклад: Теєтет, 145 А: [Сократ:] Чи не геометр Чи він 1 «= Феодор]? - [Теєтет :) Безсумнівно, Сократ. - Чи не знавець чи він також
енциклопедія  заливне  український  гур'ївська  окрошка