Головна
Безпека життєдіяльності та охорона праці || Хімічні науки || Бізнес і заробіток || Гірничо-геологічна галузь || Природничі науки || Зарубіжна література || Інформатика, обчислювальна техніка та управління || Мистецтво. Культура || Історія || Літературознавство. Фольклор || Міжнародні відносини та політичні дисципліни || Науки про Землю || Загальноосвітні дисципліни || Психологія || Релігієзнавство || Соціологія || Техніка || Філологія || Філософські науки || Екологія || Економіка || Юридичні дисципліни
ГоловнаФілософські наукиВибрані філософські праці й промови → 
« Попередня Наступна »
Вітгенштейн Л.. Філософські роботи. Частина II. Пер. з нім. / Вступ, стаття М. С. Козлової. Переклад М. С. Козлової і Ю. А. Асєєва. М.: Видавництво «Гнозис»., 1994 - перейти до змісту підручника

IV 1942-1943 1.

Ясно, звичайно, що математик, оскільки він дійсно «грає в гру", не робить висновків. Бо «грати» має означати тут: діяти відповідно до певних правил. І навіть якщо б він зробив висновок, що, відповідно до загального правила, він може діяти тут таким чином, це вже булоб вихо-домза межі простої гри. 2.

Обчислює чи рахункова машина?

Уяви собі, що обчислювальна машина з'явилася випадково; і ось хтось випадково натискає на її кнопки (або ж якась тварина пробігає по них), і вона обчислює результат 25 х 20. - Я хочу сказати: для математики істотно, щоб її знаки застосовувалися і в цивільному житті.

Саме вживання поза галузі математики, тобто значення знаків [їх віднесеність до об'єктів], робить знакову гру математикою.

Адже ми ж не будемо вважати логічним висновком перетворення однієї структури (скажімо, розташування стільців) в іншу, якщо такі упорядкування не мають мовного вживання поза цієї трансформації. 3.

А хіба не міг би хтось, що не має ніякого поняття про значення расселовского знаків, повторно прорахувати за РАССЕЛОМ його докази? Тобто в якомусь істотному сенсі перевірити, істинні вони чи хибні?

Можна було б так налагодити людську обчислювальну машину, показавши їй правила виводу і продемонструвавши їх дію на прикладах, щоб вона зчитувала докази математичної системи (наприклад, РАССЕЛОВСКІЄ) І після кожного правильно зробленого висновку кивала головою, а в разі помилки хитала головою і припиняла обчислення. У всьому ж іншому

це істота можна було б собі уявити повним ідіотом. Доказом ми називаємо те, що може бути повторно прораховано, так само як і скопійовано. 4.

Якщо математика - це гра, то грати в таку гру - означає займатися математикою, а чому б тоді не бути математикою і танцю?

Уяви собі, що обчислювальні машини зустрічаються в природі, але їх корпусу непроникні для людей. І тоді люди використовували б ці пристрої приблизно так само, як ми - обчислення, хоча про таке вони абсолютно нічого не знають. Так, за допомогою обчислювальних машин вони б до лали передбачення, але їх звернення з цими дивними предметами носило б характер експериментування.

У цих людей відсутні б поняття, наявні у нас; але що б їх замінювало? -

Згадай механізм, рух якого ми розглядали як геометричне (кінематичне) доказ: очевидно, що в нормальній ситуації ніхто не скаже про людину, обертаючому колесо, що він щось доводить. Хіба не так само йде справа з тим, хто заради гри вибудовує знаки в ряд і змінює ці ряди; навіть якщо те, що він отримує, і можна розглядати як доказ?

Твердження, що математика - гра, має означати: в ході докази ніколи не слід апелювати до значення знаків, тобто до їх внематематіческому застосування. Але що значить взагалі: апелювати до нього? Як можливо, щоб така апеляція була плідною?

Чи означає це - вийти за межі математики і знову повернутися до неї або ж це означає - перейти від одного способу математичного виведення до іншого?

Що значить - придбати нове поняття про поверхні кулі? Якою мірою це буде тоді поняттям про поверхні кулі? Лише в тій мірі, в якій це поняття застосовне до реальних кулям.

Наскільки необхідно мати поняття про «пропозицію», щоб уявляти собі РлссЕловскую математичну логіку? 5. Якщо передбачуване застосування математики істотно, то як тоді йде справа з тими розділами математики, застосування яких - або ж те, що математики вважають застосуванням, - абсолютно ирреально? У таких випадках - ми це бачимо в теорії множин - займаються якою-небудь областю математики, маючи абсолютно помилкове поняття про її застосування. Але хіба тим не менш при цьому займаються не математикою? Якби арифметичні операції служили виключно для конструювання шифру, то їх застосування було б, звичайно, принципово відмінно від нашого. Але чи можна було б тоді взагалі назвати ці операції математичними? Чи можна сказати про те, хто застосовує правило дешифрування, що він здійснює математичні операції? І все ж його перетворення можна тлумачити і так. Бо він міг би сказати, що розраховує результат, одержуваний при дешифрування знака ... відповідно з тим чи іншим ключем. А пропозиція: знаки ... дешифровані відповідно з цим правилом, дають ... - Є математичним. Так само як і пропозиція про те, що в шахах від цієї позиції можна прийти до тієї. Уяви собі, що геометрією чотиривимірногопростору займаються з метою познайомитися з умовами життя духів. Хіба через це вона перестає бути математикою? І чи можна тоді стверджувати, що вона визначає поняття?

Хіба ж не дивно звучало б твердження, що якась дитина вже здатна виконувати тисячі операцій множення, - а це має на увазі, що йому вже доступні обчислення в необмеженої числовий області. Хоча це можна було б вважати ще досить скромним способом вираження, так як замість «нескінченно багато» говорилося б тільки про «багатьох тисячах». Чи можна представітьсебе людей, які в звичайному житті виробляли б обчислення лише в межах 1000, а все, що понад те, зберігали для математичних досліджень миру духів? «Вірно це чи ні для реальної поверхні кулі - для математичної поверхні кулі це вірно» - тим самим створюється враження, ніби особлива відмінність математичного пропозиції від емпіричного полягає в тому, що істина цього останнього приблизною та хитка, математичне ж пропозицію описує свій об'єкт точно і , безумовно, істинно. Як якби «математичний куля» якраз і був кулею. І тоді можна було б, скажімо, запитати себе, чи існує тільки один такий куля або ж декілька (ФРЕГЕвская постановка питання). Заподіює чи шкоду обчисленню як розділу математики неправильне розуміння можливостей його застосування?

А крім неправильного розуміння, як йде справа просто з неясністю?

Припустимо, хтось вважає, що математики відкрили дивний предмет V-1, який, будучи зведений у квадрат, дає -1. Хіба він не міг би досить чітко робити обчислення з комплексними числами і застосовувати такі обчислення у фізиці? І чи стають вони через це в меншій мірі обчисленнями? У одному відношенні його розуміння, звичайно, кульгає; але він, безсумнівно, зробить свої висновки з повною впевненістю, і його обчислення буде міцно стояти на ногах.

Ну, а хіба не смішно було б стверджувати, що ця людина займається не математикою?

Коли хтось розширює межі математики, пропонує нові

визначення і знаходить нові теореми, то у відомому

сенсі можна сказати, що він не відає, що творить. - У нього є туманне уявлення про те, що він щось відкрив, як би якесь простір (при цьому він думає про якийсь приміщенні), освоїв якусь нову область, а якщо його запитати про це, він наговорить багато дурниць.

Уявімо собі найпростіший випадок, що хтось виконав небачені множення, щоб, як він каже, завоювати тим самим нові величезні області світу чисел.

Уяви собі, ніби система обчислень з V-1 винайдена диваком, якого залучила просто парадоксальність ідеї і він займається обчисленням як свого роду богослужінням або храмової службою абсурду. Він уявляє, що фіксує неможливе і оперує ім.

Іншими словами: той, хто вірить у математичні об'єкти та їх дивні властивості, - хіба не може він все-таки займатися математикою? Або ж: хіба він не займається і математикою? «Ідеальний об'єкт». Вислів «Знак а позначає ідеальний об'єкт» має, очевидно, говорити щось про значення, тобто про вживання а. А це, звичайно, означає, що таке вживання у відомому відношенні схоже з вживанням знаку, що має свій предмет, але що воно не відповідає ніякому предмету. Однак цікаво, що витягується з цього факту для вираження «ідеальний об'єкт».

6. При відомих умовах можна говорити про нескінченному ряді куль. - Уявімо собі такий прямий нескінченний ряд куль з рівними проміжками і розрахуємо силу, з якою всі ці кулі за законом тяжіння діють на певне тіло. Число, одержуване обчисленням, ми будемо розглядати як ідеал точності для відомих вимірювань.

Відчуття дивацтва виникає тут від неправильного розуміння. Від того типу неправильного розуміння, який породжений пастками розуму - ікоторому я хочу покласти край. Заперечення, що «кінцеве не може осягнути нескінченне», по суті, спрямоване проти ідеї психологічного акту осягнення чи розуміння.

Або уяви собі, що ми просто говоримо: «Ця сила відповідає тяжінню нескінченного ряду куль, розміщених певним чином і діють на тіло згідно з цим законом тяжіння». Або ж: «Розрахуй силу, з якою нескінченний ряд куль з певними властивостями діє як якесь тіло!» - Цей наказ все ж має певний сенс. У ньому описано особливого роду обчислення.

А як бути з таким завданням: «Розрахуй вага колони, що складається з стількох покладених одна на іншу плит, скільки є кардинальних чисел; сама нижня плита важить 1 кг, кожна наступна - половину попередньої»?

Труднощі укладена не в нашій нездатності скласти якесь уявлення. Досить легко уявити собі, наприклад, нескінченний ряд. Питання в тому, що дає нам це подання. Уяви собі, що нескінченні числа використані в казці. Гноми склали вежу з стількох шматків золота, скільки існує кардинальних чисел, - і т. д. Те, що може відбутися в цій казці, повинно ж мати сенс. -

7. Уяви собі, що теорія множин винайдена якимсь сатириком як своєрідна пародія на математику. - Потім в ній угледіли б розумний зміст і включили її в математику. (Адже, якщо хтось один може вважати її раєм для математиків, чому б комусь іншому не визнати її жартом?) Питання в наступному: хіба не очевидно, що вона і в якості шугкі є математикою? -

А чому очевидно, що вона є математикою? - Чи не тому, що це знакова гра за правилами?

Але хіба можливо мати якесь поняття і не володіти ясним поданням про його застосування? 8.

Візьми побудова багатокутника сил: хіба це не елемент прикладної математики? А де ж пропозицію чистої математики, яке залучають на допомогу при цьому графічному розрахунку? Хіба це не такий же випадок, як з тим племенем, яке для відомих пророкувань використовує обчислювальну техніку, але не пропозиції чистої математики?

Обчислення, яке служить для проведення якоїсь церемонії. Наприклад, відповідно до певної технікою з віку батька і матері і числа їхніх дітей виводиться число слів для якоїсь форми благословення їх сімейного вогнища. Опис процедури обчислення можна було б уявити собі у вигляді якоїсь подібності Моїсеєва закону. І хіба не можна було б уявити собі, що народ, що володіє цими церемоніальними обчислювальними приписами, в практичному житті ніколи не обчислює? Це було б все-таки прикладним обчисленням, але воно не служило б цілям передбачення. 4 А що дивного було б у тому, якби технічні прийоми обчислень мали якесь сімейство застосувань? 9.

Сколь дивний питання: чи з'явиться при нескінченному десятковому розкладанні числа я поєднання ср (якась особлива послідовність цифр, скажемо "770")? - Зрозуміло лише при спробі міркувати зовсім заземлено: люди привчені при обчисленні розташовувати знаки за відомими правилами. І тут вони діють у згоді з тим, до чого привчені, а ми говоримо, що проблематично, запишуть вони коли-небудь, слідуючи заданому правилу, поєднання ср

А про що кажуть, стверджуючи, що тут ясно одне: в ході нескінченного розкладання ми або прийдемо, або не прийдемо до ф? Мені здається, що той, хто це каже, сам вже встановлює якесь правило або ж постулат.

Що, якби на якесь питання відповідали: «На це питання поки що немає відповіді»?

Так міг би відповісти, скажімо, письменник, якби запитали, чи є у героя його роману сестра чи ні, а він би ще не вирішив це питання сам для себе.

Питання - хочу я сказати - змінює свій статус, якщо стає розв'язуються. Бо тоді встановлюється взаємозв'язок, якої раніше не було.

Про людину, навчання чомусь, можна запитати: «Як він буде тлумачити правило стосовно до цього нагоди?» - або ж: «Як повинен він тлумачити правило стосовно до цього нагоди?» А що, якщо на цей рахунок не прийнято жодного рішення? - Що ж, тоді відповіддю не служило б: «Тлумачення має бути таким, щоб при розкладанні з'явилося ср» або: «Тлумачення має бути таке, щоб ср не з'явилося», але відповіддю було б: «З цим ще не вирішено».

 Як дивно звучить твердження, що подальше розкладання якогось ірраціонального числа є подальший розвиток математики. Математика здійснюється в поняттях. - Ів певних поняттях в більшій мірі, ніж в інших. 

 Я хочу сказати: здається, ніби основа для вирішення вже є; між тим її ще треба винайти. 

 Чи не зводиться Чи справа до наступного: звертаючись думкою до засвоєної нами техніці розкладання, ми використовуємо помилковий образ завершеного розкладання (того, що зазвичай називають «поруч»), і це змушує нас ставити не мають відповіді питання? Адже будь-яке питання про розкладання V2 повинен бути зводимо в кінцевому рахунку до практичного питання, що стосується техніки розкладання. І тут мова йде, звичайно, не тільки про випадок розкладання якогось дійсного числа або ж взагалі про отримання математичних знаків, але про будь аналогічному процесі, будь то гра, танець і т. д. і т. д. 10.

 Якщо хтось вдовблює нам в голову закон виключеного третього, тлумачачи про його непохитності, - то ясно, що з предметом його обговорення щось не в порядку. 

 Якщо хтось висуває закон виключеного третього, то він ніби пропонує нам на вибір дві картини, кажучи, що одна з них повинна відповідати фактом. А що, якщо сумнівна сама застосовність тут цих картин? 

 Заявляючи, що нескінченне розкладання я повинен або містити, або не містити поєднання ср, нам пропонують як би картину йде вдалину неозорого ряду. 

 А що, якщо зображення на великому видаленні починає втрачати чіткість контурів? 11.

 Говорити про нескінченному ряді, що він не містить певного поєднання, має сенс тільки в абсолютно особливих умовах. Це означає: така пропозиція знаходить сенс лише у відомих випадках. 

 Наприклад, в таких, коли присутність поєднання ... виключено законом даного ряду. 

 Далі: продовжуючи обчислювати десяткове розкладання, я виводжу нові закони, яким підкоряється даний ряд. «Що ж, добре, в такому випадку можна сказати: в законі даного ряду або має бути закладено поява цього поєднання, або його виключення». Але чи так це? - «А хіба закон розкладу не повністю детермінує ряд? А якщо він його детермінує, не допускаючи невизначеності, він повинен імпліцитно вирішувати всі питання, що стосуються структури ряду. »- Тоді ти тут маєш на увазі кінцеві ряди. 

 «Але ж визначені всі члени ряду від 1 до 1000, до 1010 і т. д., а це означає, що всі члени визначені». Це вірно, якщо виключено, що якийсь із наступних членів може виявитися не визначеним. Але ти ж бачиш, що це не дозволяє тобі зробити висновок про те, чи з'явиться в ряду якесь поєднання (якщо воно ще не з'явилося). Таким чином, ми розуміємо, що використовуємо дезорієнтуючу нас картину. 

 Бажаючи дізнатися про ряд більше, ти повинен як би переміститися в інший вимір (як би з лінії на навколишнє її площину). - Так хіба площину вже не присутній тут, так само як і лінія, і не потрібно просто дещо дослідити, якщо хочеш знати, як це відбувається? 

 Ні, математику цього більш широкого діапазону треба ще винайти, як і будь-яку математику. 

 В певній арифметиці, де рахунок не йде далі 5, питання про те, скільки буде 4 + 3, ще не має сенсу. Однак тут цілком може існувати проблема надання сенсу цього питання. Це означає: це питання має так само мало сенсу, як і положення про виключення третьому стосовно цього питання. 12. Передбачається, ніби в законі виключеного третього вже присутнє щось досить міцне, у всякому разі, не підлягає сумніву. Тим часом насправді ця тавтологія має настільки ж хиткий сенс (якщо дозволено так сказати), що й питання про те, чи має місце р або 

 Уяви собі, що я б запитав: що мають на увазі, коли кажуть: «При цьому розкладанні ... з'являється поєднання ... »? Мені б відповіли: «Ти ж знаєш, що це означає. Воно з'являється подібно до того, як при десятковому розкладанні дійсно з'являється поєднання ... »- Отже, воно з'являється ось так? Але як саме? 

 Уяви собі, що тобі б відповіли: «Воно з'являється або так, або не так!» 

 «Але хіба ти справді не розумієш, що мається на увазі?!» - А хіба неможливо думати, ніби розумієш, а між тим помилятися? - 

 Звідки я знаю тоді, що означає: поєднання ... з'являється при розкладанні? Звичайно ж завдяки прикладам, що показує мені, що виходить, коли ... Але ці приклади не показують, як виходить, що при розкладанні з'являється дане поєднання. Хіба не можна сказати: якщо б дійсно було правомірно стверджувати, що ці приклади вчать мене, як відбувається, що в десятковому розкладанні з'являється дане поєднання, то вони повинні були б показувати мені і ТО4 що означає протилежне твердження? 13.

 Загальна пропозиція про те, що дане поєднання не з 'являється при розкладанні, може бути тільки вимогою. 

 А що, якщо розглядати математичні пропозиції як вимоги і як такі їх висловлювати? «Нехай 252 дасть 625». Так, вимога теж має внутренее і зовнішнє заперечення. Символи (х) - фх і (Зх) - Срх, ймовірно, корисні в математиці, якщо відома і решта техніки докази існування чи не існування, яку тут тягнуть за собою РАССЕЛОВСКІЄ знаки. Якщо ж залишити питання відкритим, то ці поняття старої логіки виявляються найвищою мірою дезорієнтуючими. Припустимо, хтось заявляє: «Та ти ж знаєш, що" дане поєднання з'являється при розкладанні "означає саме це», - і показує якийсь випадок його застосування. - Я можу заперечити на це лише реплікою, що показане їм здатне ілюструвати різні факти . Ось чому, знаючи, що він напевно вдасться у такому разі до даної пропозиції, про мене - на цьому підставі - не можна сказати, що я знаю, що означає цю пропозицію. 

 Протилежністю твердженням «існує закон, що р» не є твердження «існує закон, що ~ р». Висловлюючи перші через Р, а друга через ~ Р, опиняєшся в скрутному становищі. 14.

 Припустимо, дітей навчали б, що Земля являє собою нескінченну площину; або ж що Бог створив нескінченний ряд зірок; або що зірка рівномірно і безперервно летить по прямій лінії все далі і далі. 

 Дивно ось що: якщо сприймати щось подібне як само собою зрозуміле, абсолютно спокійно, то воно втрачає будь-яку парадоксальність. Як якби хтось сказав мені: заспокойся, цей ряд чи рух триває безперервно. Нас як би позбавили від зусилля думати про кінець. 

 «Ми не будемо брати до уваги кінець». (We won't bother about an end.) 

 Можна було б також сказати: «Для нас ряд безкінечний». «Ми не станемо турбуватися про кінець цього ряду; для нас він завжди буде безмежним». 15.

 Неможливо порахувати раціональні числа, тому що вони не піддаються рахунку, але можна вважати за допомогою раціональних чисел - так само як і за допомогою кардинальних чисел. Такий лукавий спосіб вираження входить в цілу систему вивертів, вдаючись до яких ми за допомогою нового апарату настільки ж упевнено діємо з нескінченними множинами, наскільки досі оперували кінцевими. 

 Не можна назвати це «прорахованості», але цілком має сенс говорити про «нумерованих». А цей вираз дозволяє усвідомити і застосування поняття. Справді, хоча марні спроби порахувати раціональні числа, але прагнути їх пронумерувати цілком можливо. 16.

 Тут напрошується порівняння з алхімією. Можна говорити про свого роду алхімії в математиці. 

 Характеризує чи цю математичну алхімію вже те, що математичні пропозиції розглядаються як висловлювання про математичних об'єктах - тобто що математика виступає як дослідження цих об'єктів? 

 У відомому сенсі в математиці не можна апелювати до значення знаків тому, що саме математика і задає їм значення. Що типово для явища, про який йде мова, так це те, що загадковість якого-небудь математичного поняття не тлумачиться відразу ж як якесь помилкове розуміння, як помилкове поняття; вона тлумачиться як щось таке, чим, у всякому разі, не слід нехтувати, з чим, мабуть, скоріше навіть слід рахуватися. 

 Все, що я можу зробити, - це вказати легкий вихід з цієї неясності і мерехтіння понять. 

 Дивним чином можна стверджувати, що у всіх цих мерехтливих-щих понятійних утвореннях є, так би мовити, міцне ядро. І я б сказав, що воно-то і робить їх математичними творіннями. Можна сказати: те, що ти бачиш, більше схоже, звичайно, на якийсь мерехтливе повітряне сяйво, але подивися на нього з іншого боку, і ти побачиш щільне тіло, яке тільки під певним кутом зору виглядає як мерехтіння без тілесного субстрату. 

 17. «Певна конфігурація входить в ряд або ж відсутня в ряду» - це означає: справа виглядає так або ж воно не виглядає так. 

 Звідки ми знаємо, що значить протилежність пропозиції «ср з'являється в ряду» або ж пропозиції «ф не з'являється в ряду»? Це питання звучить безглуздо, і все ж він має якийсь сенс. Притому ось який: звідки я знаю, що розумію пропозиція «ср з'являється в ряду»? 

 Вірно, можна навести приклади вживання таких висловлювань і протилежних. А вони служать прикладами того, що існує якесь правило, що наказує поява чогось у оп? ределенном місці або ряді місць або ж визначальне, що це поява виключено. 

 Якщо слова «ти зробиш це» означають: ти повинен це зробити, а «ти не зробиш цього» - ти не маєш права робити це,-то фраза «ти зробиш це чи ти цього не зробиш" не буде пропозицією про виключення третьому. 

 Кожен відчуває себе незатишно при думці, що якесь пропозиція могла б оповідати про те, що в нескінченному ряду щось не з'являється, - і навпаки, аж ніяк не здається дивним, якщо якесь веління говорить: у цьому ряду, як би довго його ні продовжувати , це з'явитися не повинно. 

 Звідки ж береться це розходження між «як би далеко ти не йшов, ти цього ніколи не знайдеш» - і «як би далеко ти не йшов, ти ніколи не повинен цього робити»? 

 Почувши наведене пропозицію, можна запитати: «Як можцо знати щось в цьому роді?» - По відношенню ж до наказу таке недоречно. 

 Висловлення здається самодостатнім, наказ же - зовсім ні. Чи можна уявити собі, щоб всі математичні пропозиції виражалися в наказовому способі? Наприклад: «Нехай 10 х 10 буде 100!» 

 А тоді фраза: «Нехай буде так або ж нехай так не буде» - виражала б не закон виключеного третього, а правило. (Як я вже говорив про це вище.) 18.

 Але чи справді це вихід з труднощів? Бо як тоді йшла б справу з усіма іншими математичними пропозиціями, скажімо 252 = 625; хіба для них в межах математики не мав би сили закон виключеного третього? 

 Як використовують положення про виключеному третьому? «Існує або правило, що забороняє це, або правило, яке дозволяє це». 

 Припустимо, що немає правила, що забороняє певну подію, - чому ж тоді має бути правило, яке дозволяє його? Чи має сенс говорити: «Хоча і не існує правила, що забороняє дане поєднання, воно справді не з'являється»? - А якщо це не має сенсу, то як може мати сенс щось протилежне цьому - те, що таке поєднання з'являється? Ну, коли я кажу, що воно з'являється, переді мною витає картина ряду, від його початку до цієї конфігурації, - якщо ж я кажу, що таке поєднання не з 'являється, то подібна картина мені не потрібна, і мій запас картин вичерпується. 

 А що, якби правило при вживанні непомітно відхилялося в сторону? Я маю на увазі, що можна було б говорити про його застосування в різних просторах. 

 Протилежністю вислову «це не повинно з'явитися» називають «це може з'явитися». Але для якогось кінцевого фрагмента ряду протилежністю «це не повинно в ньому з'являтися», мабуть, буде «це має в ньому з'явитися». У альтернативі «в нескінченному ряді ср з'являється або не з' являється »дивно те, що потрібно уявити собі окремо обидві ці можливості, що шукається подання для кожного варіанту і що одного уявлення зазвичай виявляється недостатньо для негативного і позитивного випадків. 19.

 Звідки я знаю, що загальна пропозиція «Існує ...» має тут сенс? Та з того, що воно може бути використане для повідомлення про техніку розгортання в тій чи іншій мовній грі. Одне повідомлення говорить: «Це не повинно з'являтися», - тобто: якщо воно з'являється, значить, ти невірно обчислив. 

 Інша ж оповіщає: «Це може з'явитися», тобто такого роду заборони не існує. Ще одне: «Це має з'явитися в такій- 

 7 - 1923 

 то області (завжди в цьому місці в цих областях) ». Протилежністю ж цьому, мабуть, буде: «У такому-то місці це не повинно з'являтися» - замість «Це не повинно там з'являтися». А що, якщо існувало б правило, яке дозволяє, наприклад, скрізь, де правило освіти я дає 4, ставити замість 4 будь-яку іншу умовну цифру? 

 Візьми до уваги також правило, в певних місцях забороняє якусь цифру, а в інших залишає можливість вибору. 

 Хіба не вірно, що поняття про нескінченні десяткових дробах в математичних пропозиціях - це поняття не про рядах, а про необмежену техніці розкладання рядів? 

 Ми освоюємо нескінченну техніку: тобто спочатку нам щось проробляють, ми це повторюємо; нам формулюють правила, і ми вправляємося в проходженні ним; при цьому, ймовірно, вживають і такий вислів, як «і т. д. до нескінченності», але під цим не мають на увазі якогось гігантського протягу. Такі факти. Ну, а що означає: «ср або з'являється в даному розкладанні, або ж не з'являється»? 20.

 Чи означає це, що немає такої проблеми: «Виявляється чи в цьому розкладанні конфігурація ср?» - Питати про це - значить питати про правило появи СР А альтернатива існування чи неіснування такого правила - це, в усякому разі, не математична альтернатива. 

 Тільки в межах якоїсь математичної структури, яку ще слід створити, питання допускає математичне рішення і стає разом з тим вимогою такого рішення. 21.

 Що ж, виходить, нескінченне не дійсно - хіба не можна сказати: «Ці два краї площині перетинаються в нескінченності»? Невірно: «Коло має це властивість тому, що проходить через дві нескінченно віддалені точки ...», вірно інше: «Властивості кола можуть бути розглянуті в цій (дивною) перспективі». 

 Це, по суті, якась перспектива, причому притягнута за волосся. (Що зовсім не ставиться комусь в докір.) Але завжди має бути цілком зрозуміло, якою мірою цей спосіб сприйняття притягнутий за волосся. Бо інакше його дійсне значення виявляється невиразним. 22.

 Що значить: «Математик не знає, що робить» - або: «Він знає, що робить»? 23. Чи можна робити нескінченні передбачення? - Ну, а чому б, наприклад, закон інерції не назвати таким передбаченням? Або ж пропозиція про те, що комета описує параболу? 

 У відомому сенсі їх нескінченність, правда, не приймається всерйоз. 

 Як же тоді йде справа з пророкуванням про те, що при розкладанні я, як би далеко воно ні зайшло, ми ніколи не натрапимо на конфігурацію ср? - Що ж, можна сказати, що це чи нематематичне пророкування, або ж математичне правило. Хтось, навчившись розкладати V2, йде до ворожки, і вона пророкує йому, що, як би далеко він ні просунувся в розкладанні у2, він ніколи не прийде до послідовності ... - Чи є її пророцтво математичним пропозицією? Ні. - Хіба що вона скаже: «Якщо ти завжди будеш розкладати правильно, то ніколи не прийдеш ...» Але хіба це передбачення? І все ж здається, що такого роду передбачення правильного розкладання цілком мислимо і отличимо від математичного закону, який стверджує, що таке повинно вести себе тим чи іншим чином. Так що в математичному розкладанні відрізнялося б те, що фактично виходить так - як би випадково, - і те, що повинно так вийти. 

 Як слід вирішувати питання про те, чи має сенс нескінченне пророкування? 

 У всякому разі, не твердженням: «Я впевнений, що маю на увазі щось, коли кажу ...» 

 Мабуть, питання не стільки в тому, чи має пророкування який-або сенс, скільки в тому, якого типу сенс воно має. (Тобто в яких мовних іграх воно з'являється.) 24.

 «Згубний проникнення» логіки в математику. 

 У підготовленій таким чином області це є доказом існування. 

 Порочність логічної техніки полягає в тому, що вона змушує нас забитьспеціальную математичну техніку. У той час як логічна техніка - лише допоміжна техніка в математиці. Наприклад, вона встановлює відомі зв'язки між іншими техніками. 

 Це майже те ж саме, як якщо б хтось захотів сказати, що столярна справа полягає в склеюванні. 

 7 * 

 153 25. Доказ переконує тебе в тому, що існує якийсь корінь рівняння (не даючи тобі поняття про те, де він існує), - але звідки ти знаєш, що розумієш пропозицію про існування кореня? Звідки ти знаєш, що дійсно в чому-то переконаний? Ти можеш бути переконаний в тому, що застосування доведеного пропозиції буде знайдено. Але тобі не зрозуміти цієї пропозиції, поки йому не знайдено застосування. Якщо доказ в загальному вигляді доводить, що існує якийсь корінь, то все залежить від того, в якій формі воно це доводить. Тобто ВІД TOFO, що веде тут до даного словесному вираженню, яке є просто схема, замовчуються головне. У той час як логікам здається, що воно замовчує тільки побічне. 

 Математично загальне співвідноситься з математично особливим не так, як зазвичай співвідноситься обще'е з особливим. Все, що я кажу, зводиться, власне, до того, що можна знати якесь доказ і слідувати йому крок за кроком, але при цьому все-таки не розуміти того, що було доведено. А це в свою чергу пов'язано з тим, що можна граматично правильно побудувати математичне пропозицію, не розуміючи його сенсу. 

 А коли його розуміють? - Я вважаю: тоді, коли його можуть застосовувати. 

 Ймовірно, можна сказати: коли мають якусь ясну картину його застосування. Для цього, однак, недостатньо пов'язувати з ним якусь ясну картину. Куди краще 'було б сказати: коли мають ясний огляд його застосування. Але і це погано, тому що мова йде лише про те, щоб не припускати застосування там, де його немає; щоб не дозволяти словесній формі пропозиції вводити себе в оману. 

 Але як же виходить, що таким чином пропозиція або доказ може бути не зрозуміле або неправильно зрозуміле? І що тоді потрібно, щоб домогтися розуміння? 

 Існують, вважаю, випадки, коли хтось якраз може застосувати пропозицію (або доказ), однак не в змозі дати ясний звіт про тип застосування. І такий випадок, коли він не в змозі і застосувати пропозицію. (Аксіома множення.) Як йде справа в цьому відношенні з 0 х 0 = О? Можна сказати, що розуміння математичного пропозиції не гарантовано його словесною формою, як у випадку більшості 

 НЕ математичних пропозицій. Це означає, мабуть, що дослівний текст не визначає мовну гру, в якій функціонує пропозицію. Логічна запис проковтує структуру. 26.

 Щоб зрозуміти, як можна назвати «доказом існування» щось не допускає конструювання існуючого, подумай про різноманітні значеннях слова «де». (Наприклад, топологічному і метрологічному.) 

 Адже доказ існування може не тільки залишати невизначеним місце «існуючого», а й взагалі не задаватися питанням про таке місце. 

 Це означає, що якщо доказанноепредложеніе говорить: «Існує число, для якого ...», - то навряд чи має сенс запитувати: «І яке це число?» - Або говорити: «І це число есті ...» 27.

 Доказ того, що при розкладанні л, з'являється 777, без вказівки, де саме, повинно було б розглядати це розкладання * з абсолютно нової точки зору, так щоб, наприклад, показувати властивості областей розкладання, про які ми знали б лише те, що вони розташовані дуже далеко зовні. При цьому перед нашим уявним поглядом витала б картина того, що в позамежної дали в л повинна передбачатись як би якась темна зона невизначеною протяжності, де наші допоміжні обчислювальні кошти вже ненадійні, а потім - у ще більшій відстані - якась зона, де знову можна що -то бачити іншим чином. 28.

 Що стосується докази шляхом reductio ad absurdum, то завжди можна уявити собі, що його вживає як аргумент людина, висуваються не математичне твердження (наприклад: він бачив, що А поставив В мат такими-фігурами), яке може бути спростовано математично. 

 Труднощі, що відчувається в математиці у зв'язку з reductio ad absurdum, така: що відбувається при цьому способі докази? Щось математично абсурдне, тобто нематематичне? І, напрошується питання, як взагалі можливо приймати щось математично абсурдне? Те, що можна прийняти і довести до абсурду фізично помилкове, не створює труднощів. Але як помислити, так сказати, немислиме?! 

 Непрямий доказ говорить: «Якщо ти хочеш, щоб це було так, то ти не повинен приймати цього: бо з цим поєднуваним лише протилежне тому, від чого ти не хочеш відмовитися». 29.

 Геометрична ілюстрація математичного аналізу насправді несуттєва, чого не можна сказати про геометричному застосуванні. Спочатку геометричні ілюстрації були застосуваннями [математичного] аналізу. Там же, де вони перестають бути такими, вони легко можуть абсолютно збивати з пантелику. 

 У такому випадку ми маємо справу з уявним застосуванням. Вигаданим застосуванням. 

 Ідея «перетину» є такою небезпечною ілюстрацією. Лише оскільки ілюстрації служать застосуваннями, вони не породжують того особливого запаморочення, яке викликає ілюстрація в той момент, коли вона втрачає можливе застосування; тобто коли вона стає безглуздою. 30.

 Так можна було б вивести теорему Дедекіндом, якби те, що ми називаємо ірраціональними числами, було зовсім невідомо, але існувала б техніка визначення жеребом чергового десяткового знака. І ця теорема мала б тоді своє застосування, навіть якби не існувало математики ірраціональних чисел. Це не означає, що розкладання ДЕДЕКівда як би вже передбачають всі особливі дійсні числа. Просто здається, що це буде так, варто лише об'єднати числення ДЕДЕКівда з численнями конкретних дійсних чисел. 31.

 Можна запитати: чого не міг би зрозуміти в доведенні теореми Дедекіндом дитина 10 років? - Хіба це доказ не багато простіше, ніж всі ті обчислення, якими має володіти дитина? - І якщо хтось скаже, що дитина не може зрозуміти глибокого змісту теореми, - я поставлю йому питання: як ця теорема знаходить своє глибоке зміст? 32.

 Образ числової осі - це абсолютно природний спосіб, але до певного моменту, тобто до тих пір, поки його не використовують як якусь загальну теорію дійсних чисел. 33.

 Побажавши здійснити розбиття дійсних чисел на два класи - нижній і верхній, - зроби це спочатку огрубіння, за допомогою двох раціональних точок Р і Q. р Q Потім поділи відрізок PQ на дві рівні частини і виріши, в якій половині (якщо не в точці розбиття) має розташовуватися розтин; якщо, наприклад, в лівій, то поділи її навпіл і прийми більш точне рішення; і т. д. 

 Маючи в своєму розпорядженні принципом необмеженого повторення даної процедури, ти можеш сказати, що цей принцип дає те чи інше перетин, так як він вирішує для кожного числа, розташоване воно знизу або зверху. - Тут постає питання, чи можна за допомогою такого принципу розбиття просуватися необмежено або ж необхідний ще якийсь інший спосіб вирішення; і ще, чи потрібне такою після того або до того, як за допомогою цього принципу отримано рішення. Ну, у всякому разі, не до завершення даної процедури, бо поки ще стоїть питання про те, на якому кінцевому відрізку прямої повинна лежати шукана точка, питання може вирішуватися подальшим розбиттям. - Але хіба після такого рішення в згоді з принципом все ще залишається простір для якогось подальшого вирішення? З теоремою ДЕДЕКівда справа йде так само, як і з законом виключеного третього: здається, ніби він виключає щось третє, в той час як про якесь третьому в ньому і мови немає. Доказ теореми ДЕДЕКівда оперує якоїсь картиною, яка не може його виправдати, скоріше сама ця картина повинна бути виправдана даної теоремою. 

 Принцип розбиття легко прийняти за нескінченно триваюче розбиття, бо він у всякому разі не відповідає ніякому кінцевому разбиению і, здавалося б, дозволяє просуватися все далі й далі. 

 34. Хіба не можна було б предпослать теорії межі, функцій, дійсних чисел більш екстенсіональності попереджання, ніж це роблять? Навіть якби це підготовче числення неминуче виявлялося дуже тривіальним і саме по собі марним? 

 Труднощі то інтенсіональні, то знову екстенсіонального способу розгляду * починається вже з поняття «перетин». Абсолютно ясно, що кожне раціональне число можна назвати свого роду принципом розбиття раціональних чисел. І ось виявляється щось ще, що теж можна назвати принципом розбиття, наприклад те, що відповідає V2. Потім ще щось подібне цьому, - і нарешті ми вже цілком освоюватися з можливістю таких разбиений осмислюємо їх за допомогою картини перетину, здійсненого в тому чи іншому пункті прямий, тобто екстенсіонально. Бо, роблячи перетин, я ж можу вибрати місце для нього за своїм бажанням. 

 Але якщо принципом розбиття служить перетин, то ж воно є таким ось чому: про будь умовно взятому раціональному числі можна сказати, що воно розташоване по одну або по інший бік перетину. - Чи можна в такому разі сказати, що ідея перетину привела нас від раціональних чисел до ірраціональних? Хіба ми прийшли, наприклад, до V2 за допомогою поняття розтину? Що ж таке перетин дійсних чисел? Та це принцип розбиття на нижній і верхній класи. Отже, такий принцип породжує кожне раціональне та ірраціональне число. Нехай навіть відсутня система ірраціональних чисел, але і тоді всі ті, що є, підрозділяються по відношенню до перетину на нижні і верхні (оскільки вони, так би мовити, порівнянні з ним). 

 Ну, а дедекіндових ідея полягає в тому, що розбиття на нижній і верхній класи (за відомих умов) є дійсне число. 

 Перетин - це екстенсіональності уявлення. Звичайно, якщо у мене є математичний критерій, що дозволяє визначати для будь-якого раціонального числа, чи відноситься воно до нижнього або верхнього класу, то мені легко систематично наближатися як завгодно близько до місця зустрічі обох класів. За Дедекіндом, ми здійснюємо розтин не розтином, тобто не зазначенням певного місця, а тим, що, - як і при виявленні V2. - Наближаємося до звернені один до одного кінців нижнього і верхнього класів. 

 Причому потрібно довести, що ніякі інші числа, крім дійсних, не можуть виконати такого роду розтин. Не забудемо, що спочатку розбиття раціональних чисел на два класи не мало сенсу, поки ми не звернули увагу на щось таке, що можна було описати подібним чином. Поняття це взято з повсякденного вжитку мови і тому начебто має безпосередньо мати сенс і для чисел. Якщо тепер ввести ідею перетину дійсних чисел, заявивши, що поняття перетину тут просто поширюється з раціональних чисел на дійсні і що все, що для цього потрібно, - це якесь властивість, що розділяє дійсні числа на два класи (і т. д.), - то перш за все не ясно, що мається на увазі під такого роду властивістю, яке розділяє подібним чином всі дійсні числа. Тут звертає на себе увагу те, що для цього може згодитися будь-яке дійсне число. Але це нас просуне лише досі, не далі. 35.

 Екстенсіональності пояснення функцій, дійсних чисел і т. д. опускають все интенсиональное - хоча вони його припускають - і віднесені до постійно відтвореного зовнішній формі. 36.

 Наше утруднення насправді починається з нескінченною прямий; хоча ми вже в дитинстві вчили, що пряма не має кінця, і мені невідомо, щоб ця ідея коли-небудь викликала у кого-небудь утруднення. А що, якщо якийсь фінітіст спробував би замінити це поняття поняттям прямого відрізка певної довжини?! 

 Але подібна пряма - це закон її продовження. 37.

 Що в дедекіндових екстенсіональной трактуванні вводить в оману, так це ідея про те, що дійсні числа розподілені на числовій осі. Можна їх знати або не знати, це не має значення. І таким чином, досить лише зробити розтин або поділити їх на класи, і тим самим їм всім буде вказано їх місце. Саме завдяки комбінації обчислення і конструювання виникає ідея про те, що на прямій, якщо не допустити V2 в якості міри відстані від 0, повинна бути залишена якась точ- 

 «Адже якби я дійсно точно конструював, то коло мала б розсікти пряму між її точками». Це неймовірно плутана картина. 

 Ірраціональні числа - це, так би мовити, окремі випадки. У чому полягає застосування поняття прямої, що втрачає ту чи іншу точку?! Таке застосування повинно бути «звичайним». Вираз «пряма, втрачають якусь точку» - це жахливо де-зоріентірующая картина. Страхітливий розрив між ілюстрацією та застосуванням. 38.

 Універсальність функцій є, так би мовити, невпорядкована універсальність. І наша математика побудована на такій ось невпорядкованою універсальності. 39.

 Якщо уявити собі загальне числення функцій, не підкріплене прикладами, то зустрічаються в підручниках туманні пояснення за допомогою таблиць істинності і діаграм, стали б цілком доречні як вказівки на те, яким чином можна було б, скажімо, надати той чи інший зміст цього обчисленню. Уяви собі, що хтось каже: «Я хочу чути композицію, яка розвивається так»: 

 Хіба це було б неодмінно безглуздо? Невже не могла б існувати композиція, що дозволяє показати, що вона в якомусь важливому сенсі відповідає цій лінії? Або ж припустимо, що безперервність вважалася б властивістю знака "Х2 4 - г / 2 =? 2"? - Звичайно, лише при тому, що це і інші рівняння звичайним чином підлягали б відомому виду перевірки. «Так дане правило (рівняння) піддається цієї особливої ??перевірці ». Перевірці, здійснюваної з оглядкою на той чи інший вид екстенсіі [наочно-геометричного зображення]. При такій перевірці даного рівняння робиться щось, пов'язане з певними екстенсіямі. Хоча не слід думати, ніби мова тут йде про екстенсіі, яким- то чином еквівалентної самому рівнянню. Робиться лише, так би мовити, натяк на певні екстенсіі. - І суть тут не в екстенсіі, яка тільки faute de mieux * описується интенсиональное; навпаки, ця інтенсив роз'яснюється - або зображується - за допомогою певних екстенсій, одержуваних з неї то тут, то там. Протікання певних екстенсій попутно висвітлює алгебраїчне властивість функції. Виходить, в цьому сенсі можна ска-зати, що зображення гіперболи попутно прояснює рівняння гіперболи. 

 Цьому не суперечить те, що такі екстенсіі являють собою найважливіше застосування даного правила; адже малювати еліпс - це одне, а конструювати його за допомогою його рівняння - це зовсім інше. - 

 Так само як я б сказав, що екстенсіональності міркування (наприклад, теорема ГЕЙНЕ-Бореля) показують: так слід поводитися з інтенсив. 

 Теорема дає нам в загальних рисах метод поводження з інтенсив. Вона каже приблизно таке: «Це має виглядатиме так». 

 І тоді можна, наприклад, так чи інакше проілюструвати метод роботи з певними інтенсив. Ілюстрація - це знак, опис, який особливо легко усвідомлюється і закарбовується в пам'яті. 

 Ілюстрація якраз і буде задавати тут спосіб роботи. Якесь вчення про розміщення фігур на картині (малюнку) - наприклад, виходячи із загальних естетичних принципів-незалежно від того, що роблять ці фігури: борються, пестять один одного і т. д. Теорія функцій як свого роду схема, яка, з одного боку , охоплює величезну безліч прикладів, а з іншого боку, постає як якийсь стандарт класифікації випадків. У звичайному викладі вводить в оману видимість того, ніби загальне цілком можна зрозуміти і без всяких прикладів, без який-або думки про інтенсив (у множині), бо справді все могло б бути зрозуміле екстенсіонально, не будь це неможливо за зовнішніми причинами . 

 40. Дедекіндом дає загальну схему способу вираження; так сказати, логічну форму міркування. 

 Загальна формулювання процедури. Ефект подібний до ефекту введення слова «впорядкування» для загального пояснення функцій. Вводиться загальний спосіб вираження, вельми корисний для зображення математичної процедури. (Подібно до того, як це відбувається в арістотелівської логікою.) Але небезпечно ось що: знаходячи цей загальний спосіб вираження, зазвичай вважають, ніби отримують повне пояснення відповідних індивідуальних випадків (та ж небезпека, що і в логіці). 

 Ми визначаємо поняття правила побудови якоїсь бесконеч-ної, продовжує все далі і далі, десяткового дробу. А як справи зі змістом поняття?! - Так хіба не можна збудувати будинок поняття подібно якоїсь ємності, застосування для якої завжди знайдеться? Хіба не можна вибудувати форму (форму, до створення якої спонукало якийсь зміст) і таким же чином як би підготувати для можливого її використання мовну форму? Адже ця форма, оскільки вона залишається порожньою, допоможе визначити і форму математики. Справді, хіба в цьому сенсі не відкрита і не очікує самих різних нових застосувань суб'єктно - предикатна форма? Тобто: чи вірно, що всі той важкий, що пов'язано з універсальним математичним поняттям функції, присутній вже в арістотелівської логікою, оскільки універсальність пропозицій і предикатів в настільки ж малою мірою може бути охоплена нами, як і універсальність математичних функцій? 41.

 Поняття, що входять в "необхідні" пропозиції, повинні фігурувати і мати значення і в пропозиціях, які не є необхідними. 42.

 Хіба ми б сказали про когось, що він розуміє пропозицію "563 + 437 = 1000", якби він не знав, як можна це пропозиція довести? Чи можна заперечувати, що знайомий розуміння пропозиції є знання того, як його слід доводити? Проблему знаходження математичного рішення теореми можна з відомим правом назвати проблемою додання формулою математичного сенсу. 

 Рівняння з'єднує два поняття; так що тепер можна переходити тепер від одного до іншого. 

 Рівняння утворює понятійну колію. Але чи є поняттям понятійна колія? А якщо ні, чи існує між ними чітка 

 межа? 

 Уяви собі, що ти навчив когось техніці множення. Він використовує її в якийсь мовній грі. Щоб не множити щоразу заново, він записує множення у скороченій формі, як рівняння, і використовує його там, де раніше примножував. І тоді він каже про техніку множення, що вона встановлює зв'язки між поняттями. Те ж саме він скаже і про примноження як картині цього переходу. І нарешті, про зрівняння: бо істотно адже, що перехід можна зобразити і просто за допомогою схеми рівняння. Щоб, таким чином, не треба було все 

 час робити перехід заново. 

 Але чи буде він і тепер схильний говорити про процес множення, що той являє собою поняття? 

 Адже він постає як рух. Це здається рухом між двома стаціонарними точками; ці точки є поняття. Розглядаючи доказ як мій рух від одного поняття до іншого, я не збираюся стверджувати і про нього [доказі] самому, що воно теж є якесь нове поняття. Але хіба не можна розглядати множення як одну картину, порівнянну з одним знаком-числом, і хіба вона не може функціонувати і як знак-поняття? 43.

 Можна сказати: використовуючи то одну, то іншу сторону рівняння, ми використовуємо дві сторони одного і того ж поняття. 44.

 Чи є понятійний апарат якимсь поняттям? 45.

 Як людина показує, що розуміє математичне пропозицію? Наприклад, тим, як він його застосовує. Стало бути, і тим, що він його доводить, чи не так? 

 Можна сказати: доказ показує новий взаємозв'язок, тому воно дає і нове поняття. 

 Чи не є тим новим поняттям саме це доказ? Якщо доказ приведено, ти безумовно можеш скласти нове судження. Бо після цього про якомусь певному зразку можна говорити, що він є чи не є цим доказом. 

 Так, але чи є зразком доказ, розглянуте, витлумачене як доказів про? Як доказів про, скажу так, воно має мене в чомусь переконувати. У відповідь на нього я готовий щось робити або залишити цю справу. У відповідь же на нове поняття я нічого не роблю і не перестаю робити. Отже, смію стверджувати: доказ є використана певним чином картина докази. 

 А те, в чому воно мене переконує, може бути дуже різного типу. (Згадай докази расселовского тавтологію, докази в геометрії і в алгебрі.) 

 Певний механізм може переконати мене в чомусь (може щось довести). Але за яких обставин - у контексті яких дій і проблем - я буду стверджувати, що він мене в чомусь переконує? 

 «І все ж поняття не переконує мене ні в чому, бо воно не пред-являє мені ніякого факту». - А чому б поняття не переконувати мене насамперед тим, що я схильний його застосовувати? Чому б новому, одного разу освіченій, поняттю не дозволяти мені безпосередньо переходити до судження? 46.

 «Розуміти математичне пропозицію» - це дуже хитке поняття. 

 Якщо ж заявити: «Справа взагалі не в розумінні. Математичні пропозиції суть лише позиції в якійсь грі », - то це теж нісенітниця! «Математика» якраз не є чітко окресленим поняттям. 

 Звідси виникає суперечка про те, чи є доказ існування, не що представляє собою конструкції, дійсно доказом існування. Тобто питається: чи розумію я пропозиція «Існує ...», якщо у мене немає можливості знайти, де це існує? І тут є дві точки зору: я розумію його, наприклад, як пропозиція, сформульоване на моїй рідній мові, тобто остільки, оскільки здатний його пояснити (і помічаю, як далеко заходить моє пояснення!). Але що я можу з ним робити? У всякому разі, не те, що з конструктивним доказом. І оскільки критерієм його розуміння служить те, що я в змозі робити з даною пропозицією, остільки з самого початку неясно, чи розумію я його і в якій мірі. 

 Прокляття проникнення математичної логіки в математику полягає в тому, що тепер кожне речення можна зобразити у математичного запису, і тому ми відчуваємо себе зобов'язаними розуміти його. Хоча адже цей спосіб написання являє собою всього-навсього переклад звичайної туманною прози. 47.

 Поняття, по суті, не є предикатом. Ми, правда, іноді говоримо: «Ця річ НЕ пляшка», - але для мовної гри з поняттям «пляшка» зовсім не суттєво, що в ній дозволені такі судження. Зверни увагу саме на те, як вживається в мовній грі те чи інше слово-поняття (наприклад, «плита»). Зовсім не обов'язково, наприклад, мати пропозиція «Це плита», а можна було б обходитися, скажімо, лише таким: «Ось це плита». 48.

 «Математична логіка» абсолютно деформувала мислення математиків і філософів, оголосивши поверхневе тлумачення форм нашого повсякденного мови аналізом структур фактів. Зрозуміло, тут вона лише продовжила спорудження аристотелевской логіки. 49.

 Абсолютно вірно: числовий знак співвідноситься з тим чи іншим понятійним знаком і тільки разом з ним він являє собою, так би мовити, якусь міру. 50.

 Якщо ти заглянеш цій мишці в пащу, то побачиш два довгих гострих зуба. - Звідки ти це знаєш? - Я знаю, що вони є у всіх мишей, а значить, і у цій. (І при цьому не кажуть: «Ця річ також є мишею, а значить, у неї теж є ...») Чому це являє собою настільки важливе просування вперед? Ну, ми досліджуємо, наприклад тварин, рослини і т. д., будуємо загальні судження і застосовуємо їх в особливих випадках. - Але ж це правда, що дана миша має дана властивість, якщо всі миші мають його! Це - визначення, що стосується використання слова «все». Фактична ж загальність полягає в іншому. Ну, скажімо, в загальному поширення і застосування такого методу дослідження. 

 Або: «Ця людина - студент-математик». Звідки ти це знаєш? - «Всі люди в цій кімнаті математики; сюди допущені тільки вони». - 

 Цікавий випадок загального: у нас часто є засіб переконатися в загальному характері пропозиції, перш ніж ми візьмемо до уваги особливі випадки; і тоді ми виносимо судження про особливе випадку за допомогою загального методу. 

 Ми дали швейцару наказ впускати тільки людей з запрошеннями і розраховуємо тепер на те, що ця людина, якій дозволили увійти, має запрошення. Для загального логічного пропозиції становить інтерес та постійно повторювана ситуація, в якій здійснюється такий перехід, а не факт, про жодному воно, як нам здається, оповідає. 51.

 Якщо про доказ кажуть, що воно показує, як (наприклад) 25 х 25 дають 625, то це, звичайно, дивна манера вираження, так як арифметичний результат - це все ж не часовий процес. Але ж доказ і не показує ніякого тимчасового процесу. 

 Уяви собі ряд картин. Вони показують, як двоє за певними правилами фехтують на рапірах. Адже ряд картин може це показати. Картина відноситься тут до якоїсь реальності. Не можна сказати: вона показує, що фехтування скоюється так, але можна сказати: вона показує, як фехтують. У якомусь іншому сенсі можна сказати, що зображення показують, як за допомогою трьох рухів можна перейти від однієї позиції до іншої. Ну, і вони 

 показують також, що в ту позицію можна перейти так. 52.

 Філософ повинен так крутитися і крутитися, щоб ухилитися від математичних проблем, а не брати в облогу одну з них - ту, що начебто слід вирішити, перш ніж можна буде рухатися далі. 

 Його праця у філософії - як би неробство, простий в математиці. Тут не треба зводити нову будівлю або наводити новий міст, потрібно інше: виносити судження про географію, як вона є тепер. Нам добре видно вершини понять, але неясно видно укоси, що дозволяють одному [поняттю] переходити в інше. Ось чому у філософії математики нічого не дає виливок доказів в нові форми. Хоча до того є сильна спокуса. І 500 років тому могла існувати якась філософія математики. 53.

 Філософ - той, хто повинен вилікуватися від багатьох недуг розуму, перш ніж він зуміє прийти до понять здорового людського розуміння. 

 Якщо в житті ми оточені смертю, то в здоров'я розуму ми оточені божевіллям. V 

 1941 і 1944 1.

 Роль пропозицій, в яких мова йде про заходи і які не є «емпіричними пропозиціями». - Хтось каже мені: «Цей відрізок довжиною 240 дюймів». Я кажу: «Це 20 футів, тобто приблизно 7 кроків», - і таким чином я отримую поняття про довжину. - Перетворення грунтується на арифметичних пропозиціях і на пропозиції про те, що 12 дюймів = 1 футу. 

 Це останнє речення ніхто зазвичай не висловлює як емпіричне пропозицію. Кажуть, що воно виражає угоду. Але процес виміру повністю втратив би свій звичний характер, якби, наприклад, вибудовування в ряд 12 відрізків довжиною в дюйм кожен не давало, як зазвичай, якоїсь довжини, яка в свою чергу може особливим чином зберігатися. Чи повинен я тому сказати, що пропозиція "12 дюймів = 1 футу" оповідає про всі ці речі, що додають процесу вимірювання його теперішній сенс? 

 Ні. Дана пропозиція грунтується на якійсь техніці. І якщо завгодно, на фізичних і психологічних фактах, що роблять можливою цю техніку. Але звідси не випливає, що його зміст зводиться до вираження цих умов. Протилежністю такої пропозиції («12 дюймів = 1 футу») зовсім не є твердження, що лінійки недостатньо жорсткі або що не всі ми вважаємо і обчислюємо однаковим чином. 2.

 Ця пропозиція грає типову (що не означає просту) роль правила. 

 За допомогою пропозиції "12 дюймів = 1 футу" я можу зробити прогноз, зокрема, про те, що дванадцятидюймові шматки дерева, викладені в ряд, виявляться рівними по довжині шматку, измеренному іншим способом. Стало бути, сенс такого правила полягає, наприклад, в тому, що з його допомогою можна зробити певні передбачення. Чи втрачає воно через це характер правила? - 

 Чому можна зробити такі передбачення? Що ж, всі лінійки спрацьовані однаково; вони не різняться багато в довжині; шматки дерева, розпиляні по футу або дюйму, - теж; наша пам'ять досить надійна для того, щоб, вважаючи до 12, ми не повторили цифру двічі і нічого не пропустили; і т. д. А чи не можна замінити правило небудь емпіричним пропозицією, в якому йдеться, що лінійки спрацьовані певним чином, що люди користуються ними так? Було б дано щось на зразок етнологічного опису цієї людської інституції. Отже, очевидно, що це опис могло б узяти на себе функцію правила. 

 Той, хто знає якесь математичне пропозицію, ще нічого не знає. Якщо в наших операціях виникає плутанина, якщо кожен обчислює по-різному, один раз - так, а інший раз - сяк, то тут ще немає ніякого обчислення; прийшовши до якогось угодою, ми тільки завели наші годинники, а зовсім ще виміряли час. Той, хто знає якесь математичне пропозицію, ще нічого не знає. 

 Тобто це математичне пропозиція повинна бути тільки будівельними лісами для опису. 

 3. Як просте перетворення виразу може мати практичні наслідки? 

 Те, що у мене є 25 х 25 горіхів, можна верифікувати, нарахувавши 625 горіхів, але можна з'ясувати це й іншим способом, більш близьким до форми виразу "25 х 25". І звичайно, саме у взаємозв'язку обох цих способів визначення числа полягає мета множення. 

 Правило в більшості випадків осібно, воно, так би мовити, гордовито спочиває; хоча те, що робить його значимим, - це факти повсякденного досвіду. 

 Те, що мені треба зробити, - це щось подібне опису королівської канцелярії; - при цьому я не маю права вчинити промах і пояснити королівську гідність корисністю короля, і все ж я не можу залишити без уваги ні корисність, ні гідність. У практичній діяльності я зрозумів з результатом перетворення виразу. 

 А в такому випадку як можна стверджувати, що висловлювання: «Тут 625 горіхів» та «Тут 25 х 25 горіхів», - означають одне і те ж? Той, хто веріфіцірует пропозиція «Тут 625 ...», веріфіцірует тим самим і «тут 25 х 25 ...», і т. д. І все ж одна форма ближче до одного типу верифікації, а інша - до іншого. Як ти можеш стверджувати, що «... 625 ...» і «... 25 х 25 ...» говорять про одне й те ж? - Вони стають одним і тим же лише завдяки нашій арифметиці. 

 Я можу отримувати то один, то інший тип опису, наприклад, шляхом рахунку. Тобто отримувати кожну з обох форм то тим, то іншим чином; але ту і іншу різним шляхом. Тут можна запитати: якщо пропозиція «... 625 ...» було верифіковано один раз так, а другий раз інакше, то виражало воно РБА рази одне і те ж? 

 Або: що відбувається, якщо один метод веріфіцірованія дає "625", а інший - не дає "25 х 25"? - Тоді «... 625 ...» істинно, а «... 25 х 25 ...» хибно? Зовсім ні! - Сумніватися в одному - значить сумніватися і в іншому: певна граматика, що вноситься в ці знаки нашої арифметикою. 

 Якщо обидва способи рахунки дозволяють обгрунтувати вказане число, то досягається вказівку лише на одне число, нехай і в різних формах. Навпаки, можна, не впадаючи в протиріччя, сказати: «При одному способі рахунки у мене виходить" 25 х 25 "(і таким чином, 625), а при іншому - чи не 625 (і таким чином, не 25 х 25)». Арифметика не має проти цього ніяких заперечень. Те, що арифметика прирівнює один до одного обидва вирази, - це, можна сказати, граматичний трюк. Вона тим самим перекриває певний тип опису і відводить його в інші канали. (І необов'язково відразу ж відзначати, що це пов'язано з фактами досвіду.) 

 4. Припустимо, що я навчив когось множити, але не за допомогою сформульованого загального правила, а лише завдяки тому, що він бачить, як я вирішую для нього приклади. Я можу потім написати йому нове завдання і сказати: «Зроби з цими двома числами те ж саме, що робив я з колишніми». Але я можу також сказати: «Якщо ти з цими двома зробиш те ж, що я зробив з іншими, то ти прийдеш до числа ...» Що це за пропозицію? «Ти напишеш те-то» - пророкування. «Якщо ти напишеш то-то, - значить, виконаєш дію так, як я тобі показував» - це визначення того, що називається «слідувати чиїмось правилом». 

 "Рішенням цього завдання є ..." - Що це за пропозицію, якщо я прочитую це, перш ніж обчислив відповідь завдання? «Якщо ти зробиш з цими числами те, що я тобі показував з іншими, то отримаєш ...» - це означає: «Результатом цього обчислення є ...» - і це не прогноз, а математичне пропозицію. Але в той же час це все-таки пророцтво! - Передбачення особливого роду. Так, може непідробно здивуватися людина, виявивши, що при додаванні стовпців насправді виходить те-то, він може, наприклад, вигукнути: а адже, їй-богу, виходить це! 

 Уяви собі тоді цей процес прогнозування та підтвердження як особливу мовну гру - я маю на увазі ізольовано від усього іншого в арифметиці і її застосуванні. Що ж так незвично в цій грі в передбачення? Те, що мені здається дивним, зникло б, якби передбачення звучало так: «Будучи впевнений в тому, що наслідував мій приклад, ти отримаєш це» або «Якщо тобі все буде здаватися правильним, то результатом буде це». Така гра могла б бути, скажімо, пов'язана з введенням певного отрути, і пророцтво тоді було б, наприклад, таке, що ін'єкція вплине певним чином на наші здібності, на нашу пам'ять. - Але якщо ми можемо уявити собі гру з введенням отрути, то чому ж ми не можемо уявити собі таку ж гру з введенням ліки? Але й тоді вагомість передбачення все ще може спиратися на те, що здорова людина розглядає це як результат. Або, може бути, що здорової людини це задовольняє. «Йди за мною, тоді ти це з'ясуєш» не означає, звичайно: «Йди за мною, тоді ти будеш за мною слідувати» - і не означає: «вираховують так, тоді ти будеш так обчислювати». - Але що значить: «Йди за мною»? У мовній грі це може бути просто наказом: «Йди зараз за мною!» 

 Яка різниця між передбаченнями: «Якщо ти правильно обчислює, то отримаєш це» і «Будучи впевнений в тому, що ти правильно обчислює, ти отримаєш це»? 

 Ну, а хто говорить, що в моїй вищеописаної мовній грі пророкування не означає останнього? Здається, що воно цього не означає, але як це проявляється? Запитай себе, за яких умов дане пророцтво здавалося б пророкує одне, а за яких - інше. Бо ясно, що це залежить тут від інших умов. Той, хто мені пророкує, що я отримаю це, не передвіщає Чи якраз того, що я буду вважати правильним цей результат? - «Але так станеться, - мабуть, скажеш ти, - саме тому, що це дійсно правильно!> - А що означає це:« Я вважаю обчислення правильним, тому що воно правильно »? І все ж можна сказати: в моїй мовній грі виробляє обчислення не думає про те, що факт отримання цього є особливістю його істоти; факт не здається йому психологічним. Представляючи собі цю людину, я перебуваю під враженням, що він лише як би слідував вже наявної нитки. А спосіб цього прямування приймав як щось само собою зрозуміле, знаючи тільки одне пояснення своєї дії - а саме рух нитки. 

 Правда, слідуючи правилу або прикладам, він дотримується їх по-своєму, але не розглядає такі дії як якусь особливість свого проходження; він не говорить: «Отже, я проїхав таким чином», - а каже: «Стало бути, проходження таке». Але якби хтось в кінці обчислення в нашій мовній грі все ж сказав: «Отже, я відхилився в бік таким чином \> або« Отже, я задоволений цим відхиленням! »- То чи можу я тоді сказати, що він неправильно зрозумів всю мовну гру? Звичайно ж, ні! Якщо, крім цього, він не використовує її будь-яким небажаним чином. 

 Чи не виходить, що таке застосування даного обчислення народжує точку зору, ніби це воно, обчислення, а не ми самі здійснюємо проходження? 

 Чому ти завжди прагнеш розглядати математику в аспекті вишукування, а не в аспекті дії? 

 Великий вплив має тут мати те, що при обчисленні ми вживаємо слова «правильно», «істинно», «хибно» та форму тверджень. (Погойдування головою і кивки.) 

 Чому я повинен стверджувати, що знання того, що всі люди, вивчившись обчислювати, вважають саме так, не їсти математичне знання? Тому що воно, здається, вказує на інший контекст. 

 Чи є, таким чином, підрахунок результатів обчислення вже прикладною математикою? А значить, і підрахунок моїх власних результатів? 

 5. Немає ніякого сумніву в тому, що в певних мовних іграх математичні пропозиції грають роль правил опису - на противагу пропозиціям-описам. Але це не означає, що така протилежність НЕ скрадається у всіх напрямках. А це в свою чергу не означає, що ця протилежність не володіє винятковою важливістю. 

 Те, що показує математичне доказ, представляється внутрішнім ставленням і не підлягає сумніву. 6. Що спільного у математичного пропозиції та математичного докази, через що вони обидва називаються «математичними»? Не те, що математичне пропозиція має бути математично доведено; не те, що математичне доказ має доводити якесь математичне пропозицію. Що математичного є в недоведеною реченні (аксіомі)? Що спільного між ним і математичним доказом? Чи повинен я відповісти: «Правила виводу математичного доказу завжди є математичними пропозиціями»? Або: «Математичні пропозиції та докази служать отриманню виведення»? Це було б вже ближче до істини. Ми говоримо: доказ - це образ. Але такий образ потребує апробації, яку ми йому влаштовуємо при перерахунку. - Ймовірно, це так. Але якби апробація у однієї людини виходила, а в іншого немає і вони не могли прийти до взаєморозуміння, чи було це тоді обчисленням? 

 Стало бути, обчисленням це робить не одна апробація сама по собі, але перш за все збіг апробацій. 

 Бо цілком можна уявити собі і гру, в якій люди, спонукувані виразами, наскільки подібними з загальними правилами, придумують собі для певних практичних завдань, тобто ad hoc, послідовності знаків, і цілком припустимо, що це навіть виправдовувало б себе. І тут «обчисленням», побажай ми їх так назвати, не було б необхідності збігатися один з одним. (Тут можна було б говорити про «інтуїції».) Збіг апробацій - це попередня умова нашої мовної гри, воно в ній не затверджується. 

 Якщо якесь обчислення - служить експериментом і його умови виконані, то ми повинні визнати в якості результату те, що виходить; і якщо обчислення - експеримент, то пропозиція: в результаті воно дає те-то, в кінцевому рахунку являє собою пропозицію про те , що за даних умов з'являється даний тип знаків. Якщо ж при цих умовах отримують то один, то інший результат, то не можна сказати: «Щось тут не так» або «Обидва обчислення не можуть бути вірними», - а слід сказати: це обчислення не у всіх випадках дає один і той же результат (чому - необов'язково має бути відомо). І хоча процес тепер став особливо цікавим, навіть, можливо, ще цікавіше, ніж раніше, але те, з чим ми маємо справу, вже не обчислення. А це знову-таки якесь граматичне зауваження про вживання слова «обчислення». І в цій граматиці, безперечно, є своя родзинка. 

 Що значить прийти до взаєморозуміння щодо різниці в результатах обчислення? Адже це значить прийти до однакового процесу обчислень. Якщо ж досягти розуміння не вдається, то один з обчислює не може сказати про іншому, що той теж обчислює, просто з іншими результатами. 

 7. Ну, а чи повинен я тоді сказати: один і той же зміст може мати лише один доказ? Або: коли знайдено доказ змінюється сенс? 

 Звичайно, дехто заперечив би: «У такому випадку ніколи не можна знайти доказ пропозиції, бо якщо воно вже знайдено, воно перестає бути доказом цієї пропозиції». Але це ще ні про що не говорить. - 

 Все залежить від того, що встановлює зміст речення. Те про що ми хочемо сказати - встановлює зміст речення. Його має встановлювати вживання знаків; але що ми вважаємо вживанням? - 

 Те, що обидва докази доводять одне і те ж речення, означає приблизно наступне: обидва характеризують його як відповідний інструмент для досягнення однієї і тієї ж мети. А метою є натяк на поза-математичне. Я одного разу сказав: «Якщо хочеш знати, про що говорить математичне пропозицію, подивися, що доводить його доказ». Не укладено чи в цьому одночасно як істинне, так і хибне? Чи справді сенс, суть математичного пропозиції стають ясними, як тільки ми можемо слідувати за доказом? 

 Якщо два докази доводять одне і те ж речення, то можна, в общем-то, уявити собі умови, в яких виключається все пов'язане з цими доказами оточення, так що вони постають самотніми і голими, і тоді немає жодної підстави стверджувати, що у них було щось спільне, що вони доводили одне і те ж речення. 

 Варто лише уявити собі такі докази поза включає і зв'язує їх організму застосування, як вони постають, так сказати, голими і босими. (Як дві кістки скелета, звільнені від оточуючих їх різноманітних зв'язків організму, в системі якого ми тільки й звикли мислити собі їх.) Коли ми говоримо про різні образних рядах, що вони продемонстрували, наприклад, що 25 х 25 = 625, то досить просто дізнатися, що фіксує те місце даної пропозиції, до якого ведуть обидва шляхи. 

 Те чи інше новий доказ вбудовує пропозицію на певний новий порядок; при цьому часто відбувається переклад одного типу операцій в абсолютно інший. Немов ми переводимо рівняння в криві. І тоді ми дізнаємося щось про криві, а тим самим і про рівняння. Але за яким правом ми дозволяємо переконати себе за допомогою ходу думки, який, як здається, зовсім далекий від об'єкта наших думок? 

 Так адже наші операції не більше далекі від нашого об'єкта, ніж, наприклад, розподіл в десятковій системі від розподілу горіхів! Особливо якщо уявити собі (а це легко зробити), що така операція спочатку була придумана для іншої мети, ніж поділ, і т. п. 

 Якщо ти запитаєш: «По якому праву?», - То відповіддю буде: можливо, і без жодного права. - За яким правом ти говориш, що продовження цієї системи буде йти паралельно тій? (Немов би ти визнав одиницями виміру одночасно і дюйм і фут і стверджував би, що 12п дюймів будуть завжди мати ту ж довжину, що й п футів.) 

 8. У расселовского »~ f (f)" відсутня раніше застосування, а тому і сенс. 

 Якщо ж цю форму таки застосовують, то тим самим не йдеться, що має бути пропозицією в якомусь звичному сенсі або що має бути пропозициональной функцією. Бо поняття пропозиції, крім поняття пропозиції логіки, пояснюється РАССЕЛОМ ТІЛЬКИ У загальних, традиційних рисах. 

 Тут дивляться на мову, не дивлячись на мовну гру. Припустимо, що ми виробляємо обчислення за допомогою чисел і іноді використовуємо також поділ за допомогою виразів форми (п - п) і таким способом отримуємо тут і там результати множення, що відрізняються від звичайних, і т. д. Але це нікому б не заважало. - Порівняй з цим: ми складаємо списки, переліки осіб, але не так, як це зазвичай робимо, не в алфавітному порядку; і тоді виходить, що одне і те ж ім'я в деяких списках 

 зустрічається частіше одного разу. Але ж можна припустити, 

 що цього ніхто не помічає або ж що люди це бачать, але приймають абсолютно спокійно. Так, можна уявити собі людей якогось племені, які, якщо у них монети падають на землю, вважають, що не варто праці їх піднімати. (У них, припустимо, є для таких випадків приказка: «Це належить іншим» - або щось в цьому роді.) 

 Але от часи змінюються, і люди (спочатку лише деякі) починають вимагати точності. Маючи на це право? Без всякого права? - І що ж, колишні переліки були тоді власне переліками? - 

 Скажімо, ми отримали деякі результати наших обчислень шляхом прихованого протиріччя. Чи стають вони через це незаконними? - А якщо тепер ми рішуче не хочемо визнати такі результати і все ж побоюємося, що деякі з них можуть украстися в наші підрахунки. - Що ж, тоді у нас буде ідея, здатна послужити зразком для якогось нового обчислення. Подібно до того як може виникнути ідея якоїсь нової гри. 

 РАССЕЛОВСКОЄ протиріччя турбує нас не тому, що воно - протиріччя, а тому, що весь наріст, кульмінацією якої вона є, являє собою ракову пухлину, що виникла, як здається, без мети і сенсу з нормального тіла. Чи можна тоді сказати: «Ми прагнемо до такого підрахунку, яке буде з більшою надійністю говорити нам істину»? Але ж ти ж не можеш визнати протиріччя! - Ну чому ж не можу? Ми ж іноді вживаємо цю форму в нашій мові, правда, досить рідко, - але можна в загальному уявити собі мовну техніку, в якій воно було б постійним інструментом. Можна, наприклад, сказати про якийсь об'єкті в русі, що він існує і разом з тим що він не існує в даному місці; зміна могло б бути виражено через протиріччя. Візьми якусь музичну тему, наприклад глйдновскую (хорал св. Антонія), візьми частина однієї з БРАМСОВСКІХ вариа-цій, яка відповідає першій частині даної теми, і постав собі завдання створити другу частину варіації в стилі її першої частини. Ця проблема - того ж типу, що й математичні проблеми. Якщо рішення знайдено, наприклад таке, яке пропонує Брамса, ТО сумнівів немає - це є рішенням. З цим способом рішення ми згодні. І все ж тут ясно, що цілком можуть існувати різні шляхи, з кожним з яких ми можемо погодитися, кожен з яких ми могли б назвати послідовним. 

 «Ми здійснюємо тільки законні - то є дозволені правилами - кроки і раптом приходимо до протиріччя. Тоді перелік правил, як він є, виявляється марним, бо протиріччя перекидає всю гру ». Чому ж ти дозволяєш йому перекидати її? 

 Але я хочу, щоб можна було механічно, за правилами, робити подальші висновки, не отримуючи суперечливих результатів. Так от, до якого типу передбачення ти прагнеш? До такого, якого не допускає твоє нинішнє літочислення? Що ж, через це воно не стає поганим розділом математики або ж не в повному розумінні математикою. Тебе вводить в оману сенс слова «механічно». 

 9. Якщо ти заради практичної мети хочеш механічно уникнути протиріччя, на що не здатне поки твоє числення, то це схоже приблизно на те, як якщо б ти шукав конструкцію ... кутника, який до цих пір міг накреслити лише методом проб і помилок, або ж як якщо б ти шукав рішення рівняння третього ступеня, до якого ти досі лише наближався. Тут не поліпшується погана математика, а винаходиться новий розділ математики. 

 Припустимо, що я хочу так визначити якесь ірраціональне число, щоб в його розкладанні не з'являлося поєднання "777". Я міг би взяти л і наказати: якщо ця фігура виникає, ми будемо замість неї ставити ТОВ. І ось мені кажуть: цього недостатньо, бо той, хто розраховує позиції, не має можливості озиратися на колишні. Тоді мені потрібно інше літочислення; таке, щоб я міг бути заздалегідь упевнений в тому, що воно ніяк не дасть "777". Математична проблема. 

 «Поки несуперечливість не доведена, я ніколи не зможу бути абсолютно упевнений в тому, що хтось, що виконує рахунок машинально, але за правилами, не вирахує небудь не те». 

 Оскільки не досягнуто таке передбачення, обчислення ненадійно. - Але уяви, я запитав би: «Як ненадійно?» - Поведи ми мову про ступені ненадійності, хіба це не могло б допомогти нам вирвати з неї метафізичне жало? 

 Хіба перші правила обчислення були нехороші? Так адже ми і задали їх тільки тому, що вони були хороші. - Якщо пізніше виявлено протиріччя, значить, вони не виконали свого завдання? Та ні ж, для такого застосування вони не призначалися. Я можу бажати надати моєму обчисленню певного роду провидіння. Воно не зробить його власної частиною математики, але зробить його більш корисною для певної мети. Ідея механізації математики. Мода на аксіоматичні системи. 10.

 Але припустимо, що «аксіоми» і «способи виведення» суть не просто якісь способи конструювання, але й цілком переконливі способи! І тоді це означає, що існують випадки, в яких конструкція, споруджена з таких елементів, не переконує. 

 І дійсно, логічні аксіоми абсолютно непереконливі, якщо ми в якості пропозіціональних змінних беремо структури, які спочатку ніхто не передбачав у якості можливих значень, тоді як істинність аксіом (спочатку) отримала безумовне визнання. 

 А що, якщо сказати: аксіоми і способи виведення повинні бути вибрані так, щоб вони не могли довести ніякого помилкового пропозицію? 

 «Ми прагнемо отримати не якесь досить надійне, але якесь абсолютно надійне числення. Математика повинна бути абсолютною ». 

 Припустимо, що я встановив правила для гри «Лисиця і мисливець», гра мені представляється розважальної та кумедною. - Проте потім виявляю, що мисливець може завжди вигравати, варто йому один раз дізнатися, як це робиться. Тепер я, скажімо, незадоволений своєю грою. Задані мною правила привели до результату, якого я не передбачав і який псує мені гру. 11.

 «N. зіткнувся з тим, що при розрахунках часто вироблялося скорочення за допомогою виразів типу "(д - д)". Він розкрив виникає внаслідок цього різницю в результатах і показав, як через застосування цього типу обчислень були втрачені людські життя ». Але припустимо, що інші люди також помітили ці протиріччя, тільки не могли дати собі звіт в тому, звідки вони беруться. Вони, так би мовити, виробляли обчислення з нечистою совістю. З числа суперечливих результатів вони вибирали один, але без невпевненості, тоді як відкриття, зроблене N., дало їм повну впевненість. - Але чи сказали вони собі: «З нашим обчисленням щось не в порядку»? Чи була їх невпевненість те саме нашої, коли, проводячи фізичний розрахунок, ми не були впевнені в тому, що ці формули дійсно дадуть тут правильний результат? Або ж це було сумнівом в тому, що вироблені ними обчислення дійсно були обчисленнями? У такому випадку що вони зробили для того, щоб усунути утруднення? Люди досі лише дуже рідко виробляли скорочення за допомогою виразів зі значенням 0. Але раптом хтось відкриває, що таким чином вони дійсно можуть обчислити будь-який результат. - Що вони тепер роблять? Тут можливі різні варіанти. Вони, наприклад, можуть оголосити, що цей тип обчислень втратив через це свою цікавість і що в майбутньому не слід більш обчислювати таким чином. 

 Хочеться сказати: «Він думає, що робить обчислення, а насправді він не обчислює». 

 12. Якщо обчислення втратило для мене свою цікавість, оскільки я знаю, що міг би тепер обчислити все, що завгодно, - то хіба воно не становило для мене якогось інтересу тоді, коли я цього ще не знав? 

 Я, звичайно, можу оголосити тепер всі ці обчислення анульованими - адже я ж якраз кинув займатися ними, але 

 чи означає це, що вони і не були обчисленнями? Колись, сам того не розуміючи, я зробив висновок при наявності прихованого протиріччя. Чи є тепер мій результат хибним або ж неправильно отриманим? 

 Якщо протиріччя так добре приховано, що його ніхто не помічає, так чому б нам не називати те, що робимо зараз, подоланням обчисленням? 

 Ми говоримо, що протиріччя зруйнувало б числення. Але якщо воно проявляється, так би мовити, лише крихітними дозами, як би мерехтячи, не як постійне обчислювальний засіб, то знищить чи воно числення і тоді? Уяви собі, що люди уявили, ніби (а + ред) 2 має бути рівним а2 + И. (Чи є це помилкою такого ж типу, як і те, що повинна існувати трисекція кута за допомогою лінійки та циркуля?) Тобто чи можна уявити, що два способи обчислення повинні давати однаковий, якщо не один і той же результат? 

 Я складаю стовпець, роблю це різним чином, беру, наприклад, числа в різній послідовності і отримую знову і знову безладно різний результат. - Я, ймовірно, скажу: «Я зовсім заплутався; роблю або безладні помилки в обчисленні, або певні помилки в певному зв'язку: наприклад, після" 6 + 3 = 9 "завжди кажу:" 7 + 7 = 15 ". Або я міг би уявити собі, що раптом у якийсь момент обчислення віднімаю замість того, щоб складати, не підозрюючи при цьому, що роблю щось не те. 

 Могло б бути і так, що я не знаходжу помилки і вважаю себе помішаним. Але такий моя реакція бути не повинна. «Протиріччя скасовує числення» - звідки взялася ця дивна констатація? Її можна, як я вважаю, похитнути за допомогою деякої частки фантазії. 

 Щоб вирішити цю філософську проблему, треба порівняти між собою такі речі, порівнювати які ще нікому серйозно не приходило в голову. 

 У цій області можна запитати про що завгодно, хоча і відноситься до справи, але не стосується його суті. 

 Певний ряд питань, торкнувшись серцевину, проскакує 

 назовні. На інші відповідають між справою. 

 Знайти шлях через серцевину надзвичайно важко. 

 Він проходить через нові приклади і порівняння. Відпрацьовані 

 приклади і порівняння нам його НЕ вкажуть. 

 Припустимо, що РАССЕЛОВСКОЄ протиріччя так і не знайдено. Цілком чи тут очевидно, що ми тоді мали б помилкове обчислення? Хіба тут немає різних можливостей? А що, якщо ми хоча і знайшли протиріччя, але більше за його приводу не хвилюємося і, наприклад, встановили, що з нього не слід робити ніяких висновків? (Так само як ніхто не робить висновків з логічного парадокса «брехун».) Чи було б це очевидною помилкою? 

 «Але ж тоді це все ж не справжнє числення! Воно ж втрачає будь-яку строгість! »Ні, не всяку. І воно тільки тоді позбавлене повній суворості, коли орієнтуються на певний ідеал строгості, прагнуть до особливому стилю математики. 

 «Але ж протиріччя в математиці несумісне із застосуванням 

 математики ». 

 «Якби протиріччя наполегливо використовувалося, скажімо, для отримання всіляких результатів, то це зробило б застосування математики фарсом або чимось на зразок зайвої церемонії. Його дія почасти подібно з дією нежорстких лінійок, які через розтягування і стиснення допускають різні результати вимірювання ». Але хіба вимір кроками не було виміром? І якби люди застосовували лінійки з тіста, хіба варто було б це саме по собі назвати хибним? 

 Хіба так вже важко придумати причини, чому відома розтяжність лінійок була б бажаною? 

 «Але чи не правильніше виготовляти лінійки з постійно твердого, більш стійкого матеріалу?» Звичайно, правильно, якщо цього хочуть! «Значить, ти береш під захист протиріччя?!» Так зовсім немає; настільки ж мало, як і м'які лінійки. 

 Слід уникати однієї помилки: вважають, що протиріччя має бути безглуздим; тобто якщо, наприклад, послідовно використовувати знаки "р", "~", "-", то "р - ~ р" не зможе нам нічого сказати. - Але подумай: що означає «послідовно» продовжувати те чи інше вживання? («Послідовно продовжувати цей відрізок кривої».) 

 13. Навіщо математики потрібно обгрунтування?! Я вважаю, воно потрібно їй не більше, ніж пропозиціям, оповідають про фізичних предметах або ж про чуттєвих враженнях, - потрібен їх аналіз. Однак математичні пропозиції, так само як і всі інші, потребують з'ясування їх граматики. 

 Математичні проблеми так званих підстав в настільки ж малою мірою лежать для нас в основі математики, в якій намальована скеля несе на собі намальовану фортецю. «Але хіба ФРЕГЕВская логіка не стає через суперечності непридатною для обгрунтування арифметики?» Стає! Але хто ж стверджував, що вона повинна бути придатною для цієї мети?! Можна навіть уявити собі, що ФРЕГЕвская логіка дана в якості інструменту дикуну, щоб він виводив з її допомогою арифметичні пропозиції. Він вивів протиріччя, не помітивши, що це - протиріччя, і тепер з нього виводить будь-які справжні і несправжні пропозиції. 

 «Добрий ангел досі зберігав нас від цього шляху». Чого ж ти ще хочеш? Вважаю, можна сказати: добрий ангел буде потрібен завжди, що б ти не робив. 

 14. Кажуть: процес обчислення - це експеримент з метою показати, як це може бути настільки практичним. Адже про експеримент ми знаємо, що він дійсно має практичну цінність. Ми тільки забуваємо, що він володіє цією цінністю завдяки якоїсь техніці, яка є природно-історичним фактом, але правила якої не грають ролі пропозицій природніше історії. 

 «Кордони емпіризму». - (Чи живемо ми тому, що жити практично? Мислимо чи ми тому, що мислення практично?) Йому відомо, що експеримент практичний, значить, обчислення - це експеримент. 

 Правда, наші експериментальні дії мають характерний вигляд. Якщо я бачу, як хтось в лабораторії ллє рідина в пробірку і нагріває її над пальником Бунзена, то я схильний сказати, що він проводить експеримент. 

 Припустимо, що люди, які вміють рахувати, хочуть-як і ми - знати числа для різного роду практичних цілей. І про це вони запитують певних людей, які, коли їм пояснили практичну проблему, закривають очі і чекають, поки їм 

 не прийде в голову відповідне число, в цьому випадку ми 

 мали б справу не з обчисленнями, наскільки б надійним не було таке визначення чисел. Подібне визначення чисел практично могло б бути навіть більш надійним, ніж будь-яке обчислення. Обчислення, можна сказати, є якась складова техніки експерименту, але саме по собі воно не експеримент. Але не забуваємо ми про те, що до експерименту відноситься і певне застосування процедури? А обчислення сприяє застосуванню. 

 Хіба комусь могло б прийти в голову назвати переклад шифрованого повідомлення за допомогою якогось ключа експериментом? Якщо я сумніваюся в тому, що числа міт, будучи перемноження, дадуть Z, то я сумніваюся зовсім не в тому, чи виникне в процесі нашого обчислення плутанина, коли, наприклад, половина людей будуть вважати правильним одне, а інша половина - іншого. 

 Якесь дія є «експериментом» лише з певної точки зору. І ясно, що обчислювальний дію також може бути експериментом. 

 Припустимо, я хочу перевірити, що обчислює ця людина за таких умов, маючи на увазі цю постановку завдання. - Але хіба це не те, про що ти питаєш, коли хочеш знати, скільки буде 52 х 63! Я цілком можу запитати це - моє питання може бути навіть виражений саме цими словами. (Порівняй з цим: чи є пропозиція «Прислухайся, вона стогне!» Пропозицією про її поведінку або про її стражданні?) 

 Ну, а що, якщо я, припустимо, перерахувавши його обчислення? - «Що ж, тоді я виконаю ще один експеримент, щоб з'ясувати абсолютно точно, що всі нормальні люди реагують йменно так». - А якщо вони реагують не однаково, то який із результатів буде математичним? 

 15. «Щоб бути практичним, обчислення повинен виявляти факти. А на це здатний тільки експеримент ». Але які «факти»? Полегшує ти, що можеш продемонструвати, які факти маються на увазі, наприклад, вказуючи на них пальцем. Прояснить це роль, яку відіграє «встановлення» факту? - А що, якщо лише математика визначає характер того, що ти називаєш «фактом»! 

 «Цікаво знати, скільки коливань має цей звук». Але ж саме арифметика і навчила тебе цього питання. Вона навчила тебе бачити цей тип фактів. 

 Математика - хочу я сказати - вчить тебе не просто відповіді на якесь питання; вона вчить тебе цілісної мовній грі, що включає питання й відповіді. 

 Чи повинні ми сказати, що математика вчить нас рахувати? Чи можна сказати про математику, що вона вчить нас експериментальним способам дослідження? Або ж вона допомагає нам відкрити такі способи? «Щоб бути практичної, математика повинна вчити нас фактам». - А чи повинні ці факти бути математичними фактами? - Але чому б їй замість того, щоб «вчити нас фактам», не створювати форми того, що ми називаємо фактами? «Так, але залишається ще той емпіричний факт, що люди виробляють обчислення саме так!» - Так, але тим самим їх обчислювальні пропозиції не стають емпіричними пропозиціями. «Так, але наші обчислення повинні адже грунтуватися на емпіричних фактах!» Звичайно. А які з цих фактів ти маєш на увазі? Психологічні та фізіологічні, що роблять рахунок можливим, або ті, що перетворюють його на корисну діяльність? Взаємозв'язок з другими полягає в тому, що обчислення є певна картина експерименту, а саме, того, як він завжди нормально протікає. Від першого роду фактів обчислення отримує свій сенс, свій вигляд: але це аж ніяк не говорить про те, що пропозиції математики мають функції емпіричних пропозицій. (Це було б рівносильно припущенням: так як по ходу п'єси з'являються тільки актори, то на сцені театру не могли б знайти корисного застосування ніякі інші люди.) У обчисленні немає ніяких каузальних взаємозв'язків, тільки модельні взаємозв'язку. І тут нічого не змінює те, що ми перевіряємо хід докази для того, щоб визнати його. Як неістотно і наше спокуса сказати, що він створюється в психологічному експерименті. Бо в ході обчислення не досліджується психологічне перебіг процесу. 

 «У хвилині 60 секунд». Це - пропозиція, вельми схоже з математичним. Чи залежить його істинність від досвіду? - А хіба ми могли б вести мову про хвилинах і секундах, якби у. нас не було відчуття часу; якби не було або, в силу фізичних причин, не могло бути годин; якби не існувало всіх тих взаємозв'язків, які надають сенс і значення наших вимірах часу? У цьому випадку - сказали б ми - вимірювання часу втратило б свій сенс (як не мало б сенсу ставити мат, якби зникла гра в шахи) - або воно мало б тоді зовсім інший зміст. - Але хіба б зробив якийсь із описаних таким чином дослідів пропозицію хибним, а інший досвід - істинним? Ні; це не описувало б його функцію. Воно функціонує абсолютно інакше. 

 «Для того щоб бути практичним, обчислення має грунтуватися на емпіричних фактах». - Чому б йому краще не визначити, що собою являють емпіричні факти? Обдумай: «Наша математика перетворює експерименти в дефініції». 

 16. А невже не можна уявити собі людське суспільство, в якому не існує ні процесу обчислень в нашому розумінні, ні вимірювання в нашому розумінні? - Можна. - Навіщо ж тоді старатися з'ясувати, що є математика? 

 Тому що у нас є математика й існує efe особливе розумі-ня, як би якийсь ідеал її положення і функції, - все це вимагає ясною опрацювання. 

 Чи не вимагай занадто багато чого і не бійся, що твоє справедлива вимога ні до чого не приведе. 

 Моє завдання полягає в тому, щоб критично підійти до логіки РлссЕла не зсередини, а зовні. 

 Це означає: не підходити до неї математично - інакше я буду займатися математикою, - а з'ясовувати її положення, її обов'язки. Моє завдання полягає в тому, щоб говорити, наприклад, не про ГЕДЕЛЄВСКОМ доказі, а минаючи його, навколо нього. 17. Завдання: знайти число шляхів, за якими можна простежити лінії стиків цієї стіни, що не перескакуючи і не повторюючись, кожен визнає математичною задачею. 

 - Якби малюнок був набагато складніше і більше, не схоплювався поглядом, то можна було б припустити, що він непомітно для нас змінюється, і тоді завдання знайти таке число (яке, ймовірно, закономірно змінюється) вже не була б математичною задачею. Але і в тому випадку, якщо воно залишається тим же, завдання також не є математичної. - Та й тоді, коли стіна обозрима, теж не можна сказати, що завдання стає математичної, подібно до того як кажуть: це завдання є питанням ембріології.

 Правильніше сказати: тут нам потрібно якесь математичне рішення. (Так само як: у чому ми тут потребуємо - так це у зразку.) 

 «Визнали» б ми проблему математичної через те, що в математиці йдеться про повторення ліній малюнка? Чому ж тоді ми схильні запросто назвати цю проблему «математичної»? Тому що ми відразу бачимо, що тут відповідь на математичний питання представляє собою практично все, що нам потрібно. Хоча цю проблему легко можна було б вважати, наприклад, психологічної. 

 Те ж саме і з завданням скласти аркуш паперу певним чином. Може скластися враження, що математика є тут наукою, яка експериментує з одиницями, тобто проробляє експерименти, де не важливі типи цих одиниць, будь то горошини або скляні кульки, штрихи і т. д. - Вона з'ясовує лише те, що є загальним для всіх них. Так, наприклад, не їх точку плавлення, а те, що 2 і 2 тут є 4. І проблема стіни являє собою як раз математичну проблему, а значить, вона може бути вирішена за допомогою цього типу експерименту. - Ів чому ж полягає математичний експеримент? Загалом, в розкладанні і переміщенні речей, проведенні штрихів, записуванні виразів, пропозицій і т. д. І не треба бентежитися тим, що зовнішній прояв цих експериментів не їсти прояв фізичних, хімічних і т. д. експериментів, - вони-то як раз іншого роду. Тут є тільки одна складність: те, що відбувається, досить легко побачити, описати, але як слід розглядати це як експеримент? Де тут голова, а де нога експерименту? Де умови експерименту, а де його результат? Чи є результатом те, що дає обчислення, або зображення обчислення, або схвалення (у чому б воно не полягало) того, хто обчислює? 

 Чи стають, наприклад, закони динаміки пропозиціями чистої математики через те, що їх інтерпретація залишається відкритою і її використовують для створення вимірювальної системи? «Математичне доказ має бути доступним для огляду» - це пов'язано з певною наочністю тієї фігури. 18. Не забудь: пропозиція, яка затверджує про самого себе, що воно неможливо довести, слід вважати математичним твердженням, бо це не щось само собою зрозуміле. 

 Настільки ж таки не самоочевидне і те, що слід вважати математичним пропозицію, яка затверджує про неможливість побудови якоїсь структури. 

 Тобто якщо говорять: «Воно повідомляє про самого себе», - то це треба розуміти особливим чином. Бо тут легко виникає плутанина через різного вживання виразу «Ця пропозиція повідомляє щось про ...». 

 У цьому сенсі пропозицію "625 = 25 х 25" також повідомляє щось про самого себе; а саме те, що ліва цифра буде отримана, якщо перемножити стоять праворуч цифри. Геделевское пропозицію, яка повідомляє щось про самого себе, саме себе не згадує. 

 «Пропозиція каже, що це число не можна отримати з цих чисел цим способом». - Але чи впевнений ти також у тому, що ти пра-вильно перевів його на російську? Так, звичайно, здається, що так. - Але хіба не можна тут помилитися? 

 Чи можна сказати: Гедель каже, що треба вміти довіряти математичному доказу, якщо ми хочемо розглядати його практично як доказ конструюються ™ пропозиції-зразка за правилами докази? 

 Або: математичне пропозиція повинна дозволяти розглядати себе як пропозиція якоїсь дійсно застосовної до самої себе геометрії. І якщо це зробити, то виявиться, що в деяких випадках на доказ покладатися не можна. Межі емпірії - це не допущення, що визнаються правильними лише інтуїтивно, які не є достовірними; це щось інше: способи порівняння і дії. 

 19. «Припустимо, ми маємо арифметичне пропозицію, з якого випливає, що певне число ... не може бути отримано з чисел ..., ..., ... за допомогою таких-то і таких-то операцій. І припустимо, що може існувати правило перекладу, згідно з яким це арифметичне пропозицію перекладається в цифри першого числа; аксіоми, виходячи з яких ми намагаємося його довести, - в цифри інших чисел; а наші правила виводу - в згадувані в реченні операції. - Якби тоді ми вивели арифметичне пропозицію з аксіом, дотримуючись наших правилам виводу, то тим самим ми продемонстрували б його виводимість, а також довели б пропозицію, яку можна виразити за допомогою такого правила перекладу: це (тобто наше) арифметичне пропозицію невиведені » . 

 Що ж тоді залишалося б робити? Я вважаю, довіритися нашої конструкції знака-пропозиції, тобто геометричному доказу. Так, ми говоримо, що це «пропозіціональное поєднання» можна отримати з тих таким-то способом. А в перекладі, в іншому записі, це означає: така цифра може бути отримана з тих інших за допомогою цих операцій. У цьому сенсі пропозицію і його доказ не мають нічого спільного з якоюсь особливою логікою. Тут таке сконструйоване пропозиція була просто іншим способом запису сконструйованої цифри; воно мало форму пропозиції, але ми не порівнюємо його з іншими пропозиціями як знак, який щось говорить, має якийсь сенс. Але, звичайно, слід сказати, що такий знак не потребує того, щоб його розглядали ні як знак-пропозиція, ні як числовий знак. - Запитай себе: що робить його одним, а що іншим? Якщо ми тепер прочитаємо сконструйоване пропозицію (або цифру) як пропозиція математичної мови (наприклад, по-російськи), то воно висловить щось протилежне тому, що ми якраз вважали доведеним. Тобто, продемонструй ми його конструкцію як доказ, отриманий, виходячи з прийнятих аксіом, за допомогою прийнятих правил виводу - ми б продемонстрували хибність дійсного сенсу пропозиції і одночасно довели його. 

 Упрекну нас будь-хто в неможливості таких припущень на тій підставі, що вони були б логічними чи математичними припущеннями, ми б відповіли: достатньо лише припустити, що в обчислення вкралася помилка, яку поки не вдається знайти і за рахунок якої і був отриманий «передбачуваний »нами результат. 

 Тут ми знову повертаємося до вираження «доказ переконує нас». Притому нас цікавить не вираження переконання голосом або жестом, не пов'язане з ним почуття задоволення або щось в цьому роді, а підтвердження переконання при використанні доведеного. 

 Правомірно запитати, яке значення докази Геделя ДЛЯ нашої роботи. Адже ніякої фрагмент математики не може вирішити ні одну з тих проблем, що хвилюють нас. - Відповідь така: інтерес представляє ситуація, в яку нас вводить такий доказ. «Що ми повинні тут сказати?» - Така наша тема. Як би дивно це не звучало, моє завдання у зв'язку з теоремою Геделя складається, мабуть, лише в тому, щоб з'ясувати, що означає в математиці пропозицію типу «Припустимо, що це можна довести». 

 20. Представляється абсолютно природним питати «скільки?» І потім вважати і обчислювати! 

 Чи вважаємо ми тому, що вважати практично? Так, вважаємо! - І таким же чином обчислюємо. 

 На основі експерименту - або як ще його назвеш - іноді можна вірно визначити розміри вимірюваного, а іноді навіть належну міру. 

 Тоді, виходить, одиниця виміру є, таким чином, результат вимірів? І так, і ні. Не результат вимірювання, а, мабуть, наслідок вимірювань. 

 Можливий такий питання: «Вчив Чи нас досвід виробляти обчислень-ня таким чином!» - Або інший: «Чи є обчислення експериментом? » 21.

 Чому б не сказати, наприклад, що протиріччя "гетерологичеським" є гетерологичеським = ~ ("гетерологичеським" є гетеро-логічний) виявляє якесь логічне властивість поняття «гетерологичеським»? 

 Пропозиції: «" двоскладових "- це гетерологичеським» або «" Трискладовий "- це не гетерологичеським» представляють собою емпіричні пропозиції. Може бути, в деяких контекстах було б важливо з'ясувати, чи володіють прикметники тими ж властивостями, які вони позначають% чи ні. Тоді в мовній грі застосовували б слово "гетерологичеським". Але невже при цьому вважали б, що пропозиція - «" / І "Є h> є емпіричним пропозицією? Воно явно таким не є, і нам не слід було б допускати його в нашу мовну гру в якості пропозиції, навіть якщо б ми і не виявили зазначеного протиріччя. ,, / Ї "є / Ї = ~ (" / Ї "Є h) можна назвати" істинним протиріччям ". - Але ж це протиріччя не є осмисленим пропозицією! Прекрасно, але ж логічні тавтології теж не пропозиції. 

 «Протиріччя істинно» означає тут: воно доведено; виведено з правил для слова «/ і». Його використання полягає в демонструванні того, що «" / і "» належить до тих слів, які, будучи включені в є / г ", не створюють пропозиції. «Протиріччя істинно» означає: це дійсно протиріччя, і неправомірно використовувати слово «" / і "» як аргумент в є / і ". 22.

 Я встановлюю певну гру і кажу: «Якщо ти зробиш цей хід, то я піду так, а якщо ти зробиш такий хід, то я буду ходити так. - Тепер грай! »І ось він робить хід чи щось, що я повинен визнати ходом, а коли я хочу у відповідь на це ходити за моїми правилами, то виявляється, що б я не робив, це не відповідає правилам. Як могло це статися? Встановлюючи правила, я щось сказав: я слідував відомому звичаєм. Я не передбачав, що ми будемо робити далі, або бачив лише якусь певну можливість. Це схоже на те, як якщо б я сказав комусь: «Припини гру; цими фігурами ти не можеш поставити мат» - і прогледів існуючу можливість мату. Різні, напівжартівливі обличчя логічного парадоксу цікаві лише остільки, оскільки нагадують про те, що для розуміння справжньої функції парадоксу необхідно його серйозне 

 оформлення. Питається: яку роль може грати в тій чи іншій мовній грі подібна логічна помилка? Наприклад, когось інструктують, як він має діяти в тому чи іншому випадку; а згодом ці вказівки виявляються безглуздими. 

 23. Логічний висновок - це частина мовної гри. І той, хто робить логічні висновки в мовній грі, слід певним інструкцій, які були задані при вивченні самої мовної гри. Якщо, наприклад, підмайстер будує будинок, керуючись даними йому вказівками, то йому доводиться час від часу переривати доставку будматеріалів і т. д. і виконувати певні операції зі знаками на папері; після чого він, відповідно результату, знову береться за будівельну роботу. Уяви собі процес, по ходу якого той, хто штовхає візок, приходить до висновку, що він повинен очистити вісь колеса, оскільки штовхати візок стало занадто важко. Я маю на увазі не те, що він говорить собі: «Завжди, коли занадто важко штовхати візок ...» - а то, що він просто діє так. І трапляється, що він комусь крикне: «Візок не йде; очисти 

 вісь! »або ж:« Візок не йде. Значить, треба очистити вісь ». 

 Це ж і є якийсь висновок. Правда, не логічний. А чи не можна сказати: «Не-логічний висновок може виявитися помилковим; а логічне - ні»? 

 Чи є логічний висновок вірним, якщо воно зроблено відповідно до правил або якщо воно зроблено відповідно з правильними правилами? Якби, наприклад, говорилося, що з ~ р завжди має слідувати р, - хіба це було б невірно? А чому б не віддати перевагу цьому інше твердження: таке правило додало б знакам "~ р" і "р" незвичайне для них значення? Я хочу сказати: можна розуміти це так, що правила виведення надають знакам їх значення, тому що вони є правилами використання цих знаків. Тому що правила виведення при-приватні до визначення значення знаків. У цьому сенсі такі правила не можуть бути вірними або невірними. 

 Хтось А в процесі будівництва виміряв довжину і ширину якоїсь ділянки і віддає В наказ: «Принеси 15 х 18 плит». У привчений множити і відповідно до результатів відраховувати те чи інше число плит. 

 Звичайно ж, вимовляти пропозиція «15 х 18 = 270» при цьому ніколи не потрібно. 

 Можна сказати: експеримент - обчислення служать полюсами, між якими рухаються людські дії. 24.

 Ми тренуємо людини таким-то чином, потім ставимо перед ним питання і у відповідь отримуємо числовий знак. Цей знак ми потім використовуємо в своїх цілях, і він опиняється практичним. Це і є обчислення? - Поки ще немає! Це могло б бути досить доцільним процесом, - проте не бути тим, що ми називаємо обчисленням. Так, можна було б уявити собі, що для цілей, яким служить сьогодні наша мова, видавалися б звуки, не утворюють, проте, ніякої мови. 

 Для обчислення характерно те, що всі, що обчислюють правильно, отримують одну і ту ж картину обчислення. І «робити обчислення правильно» означає не: при здоровому розумі чи без перешкод, - але: робити обчислення таким чином. Кожне математичне доказ дає нову опору математичному будівлі. (Я думав про опорах столу.) 25.

 Я задався питанням: хіба математика, май вона чисто фантастичне застосування, не була б все ж математикою? - Але питається: не називаємо ми це математикою лише тому, що бачимо тут переходи, містки від фантастичного застосування до Нефантастичний? Тобто чи можна сказати, що люди, що використовують обчислення, які оперують знаками тільки в окультних цілях, володіють математикою? 26.

 А в такому випадку хіба не правильно все-таки сказати: в математиці істотно те, що вона утворює поняття? - Адже математика - це врешті-решт антропологічний феномен. Значить, можна визнати це головним для більшої частини математики (для того, що називається «математикою») і разом з тим сказати, що це не грає ніякої ролі в інших областях. Саме по собі дане розсуд, звичайно, не зробить якогось впливу на тих, хто навчається тепер дивитися на математику таким чином. Адже математика - це якесь сімейство; але це не говорить про те, що нам байдуже, що б у нього ні включалося. 

 Можна сказати: якби ти не розбирався в якому-небудь математичному реченні краще, ніж ти розумієш аксіому множення, то ти б не розумів математики. 27. - Тут є протиріччя. Але ми його не бачимо і робимо з нього висновки. Наприклад, виводимо математичні пропозиції, в тому числі помилкові. Але ми визнаємо ці висновки. - Якщо ж побудований за нашими розрахунками міст розвалюється, то ми нахо-дим для цього іншу причину або говоримо, що це було завгодно Богові. Чи було тут наше обчислення хибним чи воно взагалі не було обчисленням? 

 Звичайно, якщо ми в науковій експедиції спостерігаємо людей, діючих таким чином, то, мабуть, можемо сказати: ці люди взагалі не виробляють обчислень. Або: в їх обчисленнях є елемент свавілля, який відрізняє суть їхньої математики від суті нашої. І все ж ми не зможемо заперечувати, що у цих людей є свого роду математика. 

 Які правила повинен встановити король% щоб надалі уникнути тієї неприємної ситуації, яку створив для нього його бранець? - Якого типу ця проблема? - Вона ж подібна наступною: як потрібно змінити правила цієї гри, щоб та чи інша ситуація не могла скластися? А це математична задача. Але чи може це бути математичною задачею - зробити математику математдкой? 

 Чи можна сказати: «Люди стали по-справжньому вважати тільки після того, як була вирішена ця математична задача,»? 28.

 Хіба це надійність, якщо вона заснована на тому, що наші банки дійсно загалом і цілому не піддаються набігу всіх своїх клієнтів відразу; хоча якби це сталося, вони б збанкрутували?! Що ж, це інший тип надійності, чим більш примітивна надійність; але все-таки це якась надійність. 

 Я вважаю, будь в арифметиці дійсно знайдено протиріччя, це доводило б лише, що арифметика з таким протиріччям може цілком успішно справлятися зі своїми завданнями; і було б переважніше видозмінити наше поняття необхідної надійності, ніж стверджувати, що це ще не було б по суті справжньої арифметикою. - «Але ж це не ідеальна надійність!» - Ідеальна для якої мети? 

 Правила логічного висновку - це правила мовної гри. 29.

 Якого роду ось це речення: «Клас левів - це ж не лев, а клас класів - це клас»? Як воно верифицируется? Як можна його використовувати? Наскільки я бачу, його можна використовувати тільки як граматичне пропозицію. Щоб звернути чиєсь увагу на те, що слово «лев» вживається принципово інакше, ніж ім'я лева; а ось родове слово «клас» вживається подібно позначенню одного з класів, наприклад класу левів. 

 Навіть визнавши, наприклад, РАССЕловекую теорію типів, все ж можна сказати, що слово «клас» вживається рефлексивно. Бо воно ж і в ній вживається рефлексивно. Звичайно, стверджувати в цьому сенсі, що клас левів не є лев і т. д., рівносильно твердженням, ніби хтось, визнавши е за а, прийняв білку за балку. 

 Раптова зміна сприйняття схеми куба і неможливість побачити «лева» і «клас» в якості порівнянних понять. Протиріччя говорить: «Прийми до уваги ...» А що, якщо якогось певного леву (наприклад, царю левів) дати ім'я Лев? Тут ти скажеш: адже очевидно, що в пропозиції «Лев - це лев» слово «лев» вживається двома різними способами. (Логіко-філософський трактат.) А чи не можна зарахувати їх до одного типу вживання? 

 А що, якби пропозиція «Лев - це лев» вживалося таким чином, що приваблювало б увагу до відмінності у використанні обох «левів», і'ні до чого більше? 

 Можна досліджувати якогось звіра з метою зрозуміти, чи не є він кішкою. Але поняття «кішка» так, в усякому разі, досліджувати не можна. 

 «Клас левів - це не лев» здається нісенітницею, в якій лише з ввічливості можна угледіти якийсь сенс: я ж хочу витлумачити цю пропозицію інакше - як справжнє пропозицію, якщо тільки воно правильно зрозуміло. (Тобто не так, як в Логіко-філософському трактаті.) Стало бути, моя концепція тут інша. А це означає, що я кажу: існує мовна гра і з цією пропозицією. «Клас кішок - це не кішка». - Звідки ти це знаєш? У байці про звірів говориться: «Лев пішов гуляти з лисом», не деякий лев з якимсь лисом; і не лев такий-то з лисом таким-то. І тут дійсно виходить так, ніби рід «лев» розглядається як якийсь один лев. (Але це не те, про що говорить Лессінг, коли місце якогось лева займає цілком конкретний лев. «Барсук-Грімбарт не означає борсук на прізвище Грімбарт» *. Уяви собі мову, в якому клас левів називають «левом всіх левів», клас дерев - «деревом усіх дерев» і т. д. - Тому що тут як би представляється, що всі леви утворюють одного великого лева. (Ми говоримо: «Бог створив людину».) Тоді можна було б встановити парадокс про те, що НЕ сущест-яття певної множини всіх ЛЬВІВ. І т. д. 

 Але хіба не можна було б вважати і робити обчислення на 

 такій мові? 30.

 Можна задатися питанням: яку роль здатне грати в людському житті пропозицію типу «Я завжди брешу»? І тут вообразімих найрізноманітніші варіанти. 31.

 Чи є перерахунок довжини з дюймів в сантиметри логічним висновком? «Циліндр має довжину 2 дюйми. - Значить, його довжина приблизно 5 см ». Чи є це логічним висновком? 

 Так, але хіба правило не щось довільне? Не щось таке, що встановлюють? А можна встановити, що множення 18 х 15 не повинно давати 270? - Чому б і ні? - Але тоді воно відбувалося б не по тим правилам, що були встановлені спочатку і вживати які звично? 

 Чи є те, що випливає з правила, в свою чергу правилом? А якщо ні, то пропозицією якого типу його слід назвати? «Для людей ... неможливо визнати якийсь предмет відмінним від самого себе ». Ну, вже май я хоч якесь поняття про те, як це робиться, я б негайно ж спробував! - Але якщо для нас неможливо визнати, що предмет різниться від самого себе, то цілком чи можливо визнати, що два предмети відмінні один від одного? Наприклад, переді мною два крісла, і я визнаю, що їх два. Але за деяких умов я все ж можу повірити, що це тільки одне крісло, і в цьому сенсі я можу вважати одне двома. - Але тим самим я ж не визнаю крісло відмінним від самого себе! Нехай так, але тоді я не визнаю і відмінності двох крісел один від одного. Той, хто вважає, що міг би це зробити, грає в свого роду психологічну гру, переводить її в гру жестів. Маючи перед собою два предмета, він лівою рукою вказує на один з них, а правою - на іншій, як би бажаючи підкреслити, що вони автономні. Будь же перед ним лише один предмет, він вказував би на нього обома руками, ніби підкреслюючи, що не можна робити ніякої відмінності між ним і ним самим. - Ну, а чому б не пограти тепер в цю гру зворотним способом? 32.

 Слова «вірно» і «невірно» вживають при навчанні того, як діяти за правилом. Словом «вірно» спонукають учня продовжувати дію, словом «невірно» утримують його. Ну, а чи можна пояснити ці слова учневі, наказавши: «Це відповідає правилу, то - ні»? Цілком можна, якщо тільки він має поняття про відповідність. А що, якщо це поняття ще лише повинне бути сформовано? (Все залежить від того, як він реагує на слово «відповідає».) 

 Ми вчимося слідувати правилу, заздалегідь не навчаючись вживання слова «відповідність». 

 Швидше, ми засвоюємо значення слова «відповідність», навчаючись слідувати правилу. 

 Той, хто хоче зрозуміти, що значить «слідувати правилу», вже сам повинен вміти слідувати правилу. 

 «Якщо ти приймаєш це правило, то повинен робити це». - Це може означати: правило не надає тут тобі двох відкритих шляхів. (Математичне пропозицію.) Я ж маю на увазі: правило веде тебе, як коридор з твердими стінами. Але ж проти цього можна заперечити, що правило піддається тлумаченню всіма можливими способами. - Правило встановлюється тут як наказ; і діє воно теж як наказ. 33. Мовна гра: принести що-небудь інше; принести те ж саме. Ну, і можна уявити собі, як в неї грають. - Але як пояснити її комусь? Можна навчити його цьому. А звідки він знає, що потрібно приносити наступного разу в якості «того ж самого», - що дозволяє мені сказати, чи приніс він те, що потрібно, чи ні? - І я чудово знаю, звичайно, що в ряді випадків люди явно висловили б мені свою незгоду. І все ж передбачає це, що «те ж саме» визначалося б приблизно так: те ж саме - це те, що всі люди або більшість з них узгоджено вважають таким? - Звичайно ж, ні. Адже для констатації тотожності я ж не використовую згода людей. А тоді який критерій ти застосовуєш? Взагалі ніякого. Вживати слово без обгрунтування не означає вживати його неправильно. 

 Проблема попередньої мовної гри існує, звичайно, і тут: принеси мені що-небудь червоне. Бо звідки я дізнаюся, що це щось червоного кольору? Завдяки збігу кольору з якимсь зразком? - За яким правом я кажу: «Так, це червоне»? Ну я так кажу; і це не обгрунтовується. Причому для цієї мовної гри, так само як і для попередньої, характерно те, що вона здійснюється при безспірному згодою всіх людей. Нерозв'язне пропозицію математики - це щось, що не визнане ні як правило, ні як протилежність правилом; воно має форму математичного висловлювання. - Але є 

 Чи ця форма чітко описаним поняттям? lim 

 Уяви собі п _> О0фп = е як властивість музичного фрагмента 

 (Наприклад). Але звичайно ж, не так, ніби фрагмент триває нескінченно, а як властивість фрагмента, распознаваемое на слух (як би алгебраїчне властивість). 

 Уяви собі рівняння, використовувані як орнаментів (візерунок шпалер), а потім перевірку цих орнаментів на те, якого роду кривим вони відповідають. Ця перевірка була б схожа на виявлення контрапункту в музичному уривку. 34.

 Доказ, яке показує, що поєднання "777" з'являється в розкладанні я, але не показує де. Що ж, доведене таким чином це «пропозиція існування» не було б правилом для певних цілей. Але хіба воно не могло б служити, наприклад, засобом класифікації правил розкладання? Аналогічним чином було б доведено, наприклад, що "777" не з'являється в я2, але з'являється в ях е і т. д. Питання полягало б лише в тому: чи розумно говорити про відповідний доказі, що воно доводить існування " 777 "цього розкладанні? Це може запросто збити з пантелику. У цьому-то і полягає прокляття прози, і особливо расселовского прози, в математиці. Що за біда, наприклад, сказати, що Бог знає все ірраціональні числа? Або: що вони все вже наявні, хоча нам і відомі лише деякі з них? Чому ці картини небезвредни? Насамперед, вони приховують певні проблеми. Припустимо, люди розраховують розкладання я все далі й далі. Отже лише Всевідо Бог знає, чи прийдуть вони до кінця світу до поєднанню «777». Але чи може його всезнання вирішити, чи було б досягнуто таке поєднання після кінця світу? Цього воно не може. Я б сказав: та Бог може вирішувати математичні питання тільки за допомогою математики. І для нього просте правило розкладання не може вирішити нічого з того, що воно не вирішує для нас. 

 Це можна виразити так: при заданому правилі розкладання якесь обчислення може показати нам, що на п'ятому місці стоїть цифра «2». Чи в змозі Бог знати це без обчислення, просто виходячи з правил розкладання? Я схильний сказати: ні. 35.

 Якщо я кажу, що пропозиції математики утворюють поняття, то це якось туманно; бо "2 + 2 = 4" утворює поняття в іншому сенсі, ніж "р Z) р", "(Х) - fx fa" або теорема ДЕДЕКІН 

 да. Існує саме сімейство випадків. 

 Поняття правила утворення нескінченної десяткового дробу не є, звичайно, специфічно математичним поняттям. Це - поняття, пов'язане зі строго певною діяльністю в людському житті. Поняття такого правила є математичним не в більшій мірі, ніж поняття слідування правилу. Або ж: це останнє визначено не менше точно, ніж поняття самого такого правила. - Так, вираз правила і його зміст - це тільки частина мовної гри: слідування правилу. З тим же правом можна взагалі говорити про такі правила як про діяльність дотримання їх. 

 Звичайно, про правило, наприклад, кажуть: «Все це вже закладено в нашому понятті», - але ж це означає: ми схильні до цих визначень понять. Бо що ж є у нас в голові такого, що вже містить всі ці визначення?! 

 Число, як каже Фреге, є властивість поняття, але в математиці воно є ознака математичного поняття. Х0 - це ознака поняття кардинального числа і властивість якоїсь техніки. - Це ознака поняття нескінченної десяткового дробу, але властивістю чого є це число? Тобто: про поняття якого типу його можна емпірично висловити? 

 36. Доказ пропозиції надоумлівает мене, яку зробити ставку на його істинність. І різні докази цілком можуть підказати мені те ж саме. 

 Щось вражаюче, якийсь парадокс в особливому, як би спотвореному оточенні. Треба доповнити його оточення таким чином, щоб те, що виглядало парадоксом, більше не здавалося таким. Довівши, що 18 х 15 = 270, я тим самим довів і геометричне пропозицію про те, що, застосовуючи до знака "18 х 15" певні правила перетворення, ми отримаємо знак 270. - Тепер припустимо, що люди, у яких під дією якого -нибудь отрути порушена чіткість зору або правильність запам'ятовування (як ми схильні тепер виражатися), отримували б при цьому обчислення не 270. - Хіба обчислення не марно, якщо по ньому не можна правильно передбачити, що виходить у результаті за звичайних обставин? Що ж, якщо навіть воно марно, це не означає, що пропозиція "18 х 15 = 270" є емпіричних: люди взагалі так вважають. 

 З іншого боку, не настільки вже ясно, що характерною ознакою всього, що ми називаємо «обчисленням», є загальне згоду тих, хто обчислює. Можна уявити, ніби люди, що навчилися обчислювати за певних умов, наприклад під впливом опіуму, починають робити обчислення кожен на свій манер і знаходять застосування цим обчисленням; і при цьому не говориться, що вони зовсім не обчислюють і нездатні обчислювати, навпаки, їх обчислення визнають правомірними. Але хіба вони не повинні бути принаймні привчені виконувати однакові обчислення? Я вважаю, що і тут можна уявити собі відхилення. 37.

 Чи можна сказати, що математика вчить експериментальному способу дослідження, експериментальній постановці питань? А хіба не можна сказати, що вона вчить мене, наприклад, питати, чи рухається певне тіло у відповідності з рівнянням якоїсь параболи? - Але що в цьому випадку робить математика? Без неї або без математиків ми б, звичайно, не прийшли до визначення цієї кривої. Але чи було визначення цієї кривої вже математикою? Математикою чи обумовлено, наприклад, те, що люди при дослідженні руху тіла намагаються усвідомити, перед ставімие чи його траєкторія за допомогою еліптичної конструкції з нитки і двох цвяхів? Математикою чи займався той, хто придумав цей тип дослідження? 

 Адже він створив нове поняття. Але чи було це зроблено таким же чином, як це робить математика? Подібно до того як дає нам якесь нове поняття множення 18 х 15 = 270? 38.

 Виходить, не можна сказати, що математика вчить нас рахувати? Але якщо вона вчить нас вважати, так чому б їй не вчити нас також порівнювати один з одним кольори? 

 Ясно: той, хто вчить нас рівнянню еліпса, навчає нас новому поняттю. Але той, хто доводить, що цей еліпс і ця пряма перетинаються в цих точках, - також дає нам якесь нове поняття. 

 Навчання рівнянню еліпса подібно навчання рахунку. Разом з тим воно подібно освоєнню питання: «Чи є тут у сто разів більше куль, ніж там?» 

 Що ж, навчи я когось в ході мовної гри цього питання і методу відповіді на нього, значить, я навчив би його математики? Або це сталося б лише в тому випадку, якби він оперував знаками? 

 (Нагадувало чи б це питання: «Чи було б геометрією те, що складалося б лише з аксіом Евкліда?") 

 Якщо арифметика вчить нас питання «Як багато?», То чому б їй не вчити нас і питання «Наскільки темно?»? 

 Але питання «Чи є тут у сто разів більше куль, ніж там?» - Це ж не математичний питання. І відповідь на нього - не математичне пропозицію. Математичним питанням було б: «Чи правда, що 170 куль в сто разів більше, ніж 3 кулі?» (І притому це питання чистої, а не прикладної математики.) У такому випадку чи слід сказати, що той, хто вчить нас вважати речі і пр., дає нам нові поняття, а також той, хто вчить нас чистої математики такими поняттями? 

 Чи є те чи інше нове поєднання понять якимось новим поняттям? І чи створює математика концептуальні зв'язку? Слово «поняття» дуже і дуже розпливчасто. 

 Математика вчить нас по-новому оперувати поняттями. І тому можна сказати, що вона змінює нашу понятійну діяльність. 

 Але робить це лише таке математичне пропозицію, яке прийнято як постулат або ж доведено, а зовсім не проблематичне пропозицію. 

 39. А хіба не можна експериментувати математично? Наприклад, спробувати, чи можна скласти голову кішки з квадратного аркуша паперу; при цьому нас не цікавитимуть фізичні властивості паперу, її міцність, еластичність і т. д. Але ж мова йде тільки про досвід. А чому не про експериментуванні? Адже цей випадок подібний тому, коли дослідним шляхом підставляють пари чисел в рівнянні х2 + у2 = 25, щоб знайти якусь пару, що задовольняє рівнянню. І якщо врешті-решт ми прир до 32 + 42 = 25, то чи буде це пропозиція результатом експерименту? Чому ж тоді ми називали цю процедуру досвідом? Дали б ми їй ту ж назву і в тому випадку, якби хтось завжди вирішував такі проблеми з першого разу з повною упевненістю (з усіма ознаками впевненості), але без обчислення? У чому полягало б тут експериментування? Припустимо, що, перш ніж він дає рішення, воно є йому як бачення. - 40. Додавання форм, в якому зливаються деякі елементи, грає в нашому житті дуже невелику роль. - Як у випадку, коли >: дають фігуру 

 Але будь це важливою операцією, наше звичне поняття про арифметичне складання, мабуть, було б іншим. Те, що з квадратного аркуша паперу (за відомими правилами) можна скласти човен, капелюх і т. д., ми повинні, звичайно, вважати справою геометрії, а не фізики. Але хіба геометрія, що розуміється таким чином, не є частиною фізики? Ні; ми відокремлюємо геометрію від фізики. Геометричну можливість від фізичної. А що, якщо залишити їх разом? Просто сказати: «Якщо ти зробиш з аркушем паперу ось це і це, то вийде це»? Те, що треба робити, може бути задане в риму. І хіба не може бути, щоб хтось зовсім не розрізняє двох цих можливостей? Подібно дитині, ще не освоїв цієї техніки. Він не знає і не замислюється про те, чи можливі такі паперові фігури лише тому, що папір при цьому тягнеться так і сяк, викривляється, або ж тому, що вона не змінює своєї форми. А хіба не так само йде справа і в арифметиці? Чому б людям не вчитися обчисленню без будь-яких понять про математичному та фізичному фактах? Вони знають лише, що це завжди вийде, будь вони уважні і роби те, чому їх навчили. Уявімо собі: поки ми обчислюємо, цифри на папері раптово змінюються. Одиниця стає раптом 6, а потім 5, потім знову 1 і т. д. Хотілося б припустити, що це нічого не змінює в обчисленні, бо як тільки я зчитую цифру, щоб обчислювати з її допомогою або застосувати її, вона знову стає тією, з якою ми мали справу в ході наших обчислень. Проте ми б при цьому прекрасно бачили, як змінюються цифри в ході обчислень, але були б привчені до того, щоб не хвилюватися з цього приводу. 

 Але і в відсутність вищеописаного допущення ці обчислення, звичайно, могли б призводити до цілком придатним результатами. Обчислення виконується тут строго за правилами, і все ж цей результат не повинен виходити. - Я допускаю, що ми не вбачаємо якої закономірності в зміні цифр. Хочу сказати: можна було б тлумачити цей процес обчислень дійсно як експериментування і, наприклад, супроводжувати його словами: «Спробуємо тепер, що вийде, якщо застосувати це правило». 

 Або ж: «Поставимо такий експеримент: запишемо цифри за допомогою чорнила цього складу ... і виконаємо обчислення за правилом ...» Ти міг би, звичайно, сказати: «У цьому випадку маніпулювання цифрами за правилами не їсти обчислення». 

 «Ми обчислюємо тільки тоді, коли за результатом стоїть« повинність »». - А коли ми не знаємо про зтом повинність, то воно все одно закладено в обчисленні? Чи ми не обчислюємо, якщо робимо це з повною наївністю? 

 А як же бути з такою ситуацією: чи не зайнятий обчисленням той, хто, отримуючи то один, то інший результат і будучи не в змозі знайти помилку, примиряється з цим і каже: це якраз і свідчить про вплив на результат певних обставин, які поки невідомі? 

 Це можна виразити таким чином: той, кому обчислення відкриває причинний взаємозв'язок, який не обчислює. 

 Дітей вправляють не тільки в самих обчисленнях, але й у зовсім певному відношенні до помилки в ході обчислень. Сказане зводиться до того, що математика нормативна. Але «норма» не рівнозначна «ідеалу». 41.

 Введення нового правила висновку можна вважати переходом до нової мовної грі. Я уявляю собі таку гру, в якій, наприклад, один учасник вимовляє "рз (/", інший-"р", а третій робить висновок. 42.

 Чи можливо, побачивши, що площина пофарбована в червоний і синій кольори, не помітити, що вона червона? Уяви собі, що для речей, Напівчервоне-полусінь, використовується особливе прикметник: ми говоримо, що вони «буние». Хіба не міг би хтось натренуватися помічати річ буного кольору і разом з тим не заме-чать, чи є вона також червоною? Ця людина вміла б повідомляти тільки: «буное» або «небуное». А ми могли б з першого повідомлення робити висновок, що річ частково червона. Я представляюсебе, ніби розгляд кольору здійснюється за допомогою якогось психологічного сита, яке дозволяє угледіти лише те, що площина синьо-біло-червона (французьке трехцветіе) або ж що вона не така. 

 Ну, а якщо розсуд того, що поверхня частково червона, - це особливого роду спостереження, то як воно може логічно випливати з попереднього? Адже логіка не може сказати нам, що ми повинні побачити. 

 Хтось вважає яблука у ящику; він вважає до 100. Хтось інший каже: «Ну вже п'ятдесят-то яблук, у всякому разі, в кошику є» (це все, що його цікавить). Адже це свого роду логічне висновок; але хіба це також і не особливий досвід? 43. Площина, розділену на ряд смуг, розглядають кілька людей. Кожну хвилину всі кольори смуг одночасно змінюються. 

[

 Зараз кольору такі: червоний, зелений, синій, білий, чорний, синій. 

 Сприймаються: червоний - синій - => чорний: ID - білий. Сприймаються також: 

 ~ Зелений з-білий, 

 і хтось робить висновок: 

 - Зелений з: червоний - синій --чорний. 

 А такі імплікації суть «material implications» в расселовского сенсі. 

 Але чи можна візуально сприйняти, що 

 до - з - ZD ч: ID - б? 

 Не сприймається чи поєднання кольорів, тобто, наприклад, до - з - - год - б, і не з цього чи виводиться така пропозиція? 

 Але хіба неможливо, вдивляючись в площину, цілком зосередитися на тому, забарвиться вона в зелений колір або не в зелений; і чи слід тоді, бачачи ~ з, звертати увагу на особливий колір площині? 

 А хіба хтось не може бути цілком поглинений конфігурацією до - с - = е ч: з - б? Якщо він, наприклад, привчений розглядати площину тільки з цієї точки зору, забуваючи все інше. (При особливих обставинах людям могло б бути байдуже, червоні чи предмети або зелені; але було б важливо, пофарбовані вони в один з цих кольорів або в якій-небудь третій. І в цьому випадку могло б існувати якесь колірне слово для « червоного або зеленого ».) Однак якщо можна вгледіти, що 

 до - З 'D Ч: "D - б? 

и

 - 3 = 3 - б, 

 то можна також побачити, а не просто логічно зробити висновок, що 

 ~ З = е: до с - ~ ч. 

 Якщо це три зорових сприйняття, то має бути також можливе, щоб третій сприйняття не збігалося з логічним висновком з перших двох. 

 Отже, чи можна тоді уявити собі, щоб хтось, розглядаючи якусь площину, бачив поєднання червоно-чорного (наприклад, як прапор), налаштовуючись ж на бачення однієї з двох половин, бачив би замість червоного синій? Що ж, ти це щойно описав. - Це приблизно так само, як якби хтось, дивлячись на групу яблук, сприймав її весь час як дві групи по два яблука в кожній, але як тільки він намагався б охопити їх у цілому одним поглядом, йому здавалося б, що їх 5. Це було б дуже дивним феноменом, притому не з числа тих, на можливість яких ми звертаємо увагу. 

 Згадай про те, що ромб, що сприймається як бубнова масть, виглядає не як паралелограм. Однак не тому, що його протилежні сторони здаються не паралельними, а тому, що ми не помічаємо паралельності. 

 44. Я міг би уявити собі, що хтось говорить, ніби він бачить червоно-жовту зірку, але не бачить нічого жовтого, тому що він бачить зірку як поєднання колірних частин, розділити які він не в змозі. 

 Наприклад, перед ним фігури типу 

 На питання, чи бачить він червоний п'ятикутник, він відповів би «так»; на питання, чи бачить він жовтий п'ятикутник, - «ні». Таким же чином він говорить, що бачить синій, а не червоний трикутник. - Якщо звернути на це його увагу, він заявить приблизно наступне: «Так, тепер я бачу це, бо я не розглядав зірки таким чином». 

 І з ним могло б також статися, що він не в змозі був би відокремити один від одного кольору в зірці, так як не міг би відокремити один від одного форми. 

 Не може навчитися оглядати географію якогось пейзажу той, хто просувається в ньому так повільно, що забуває одну ділянку, підходячи до іншого. 

 45. Чому я весь час веду мову про примусовості правила; чому не про те, що я можу хотіти слідувати правилу? Адже це настільки ж важливо. 

 Але я хочу сказати не про те, що правило змушує мене діяти таким чином, а про те, що вона дає мені можливість дотримуватися його і дозволяти йому примушувати мене. І той, хто, наприклад, грає в якусь гру, дотримується її правил. Причому цікаво те, що люди для власного задоволення встановлюють правила і потім дотримуються їх. Моє питання полягав, власне, в наступному: «Як може людина дотримуватися якогось правила?» І образ, який міг би тут спливти, - це образ короткого ділянки перил, за допомогою якого він повинен просунутися далі, ніж вистачає перил. [Але ж те, що там є, - ніщо; однак те, що там є, - все ж таки не ніщо]] Бо коли я запитую: «Як може людина ...»? - То це означає, що щось здається мені тут парадоксальним, отож, мене заплутує якийсь образ. 

 «Я зовсім не думав про те, що ця річ також і червона; я бачив її тільки як частина багатоколірного орнаменту». Логічний висновок - це перехід, який виправданий у тому випадку, якщо він слід певної парадигмі, і законність якого не залежить більше ні від чого іншого. 46.

 Ми говоримо: «Якщо, множачи, ти дійсно дотримуєшся даному правилу, то повинно вийти те ж саме». Якщо ж це лише дещо істеричний спосіб вираження, характерний для університетського мови, то нам не слід дуже вже цим цікавитися. 

 Але це виражає повсюдно спостерігається в нашому житті ставлення до техніки обчислень. Акцент же на повинність відповідає лише непреклонности такого ставлення до цієї техніки обчислення і до незліченних родинним їй технікам. Математична необхідність - це тільки інше вираження того, що математика формує поняття. 

 А поняття служать для розуміння. Вони відповідають певному способу дій з ситуаціями (Sachlagen). Математика утворює мережу норм. 47.

 Можливо бачити комплекс, утворений з А і Б, не бачачи А чи Б. Можна також називати цей комплекс «комплекс з А і В» і думати, що це назва вказує на якесь спорідненість цього цілого з А і В. Так, можливо сказати, що бачиш комплекс, утворений з А і Б, не бачачи ні А, ні В. Наприклад, так, що можна було б сказати: тут є червонувато-жовтий колір, але немає ні червоного, ні жовтого. Ну, а чи можу я мати перед собою А і Б і бачити їх обох, але візуально сприймати тільки A v В? Що ж, у відомому сенсі це все ж можливо. І при тому я представив би собі це так, що сприймає поглинений певним аспектом; що він, наприклад, має певного типу парадигму; що він прихильний певному навику застосування. - І так само, як він може бути орієнтований на A v В, він може бути орієнтований і на А - В. Тобто він помічає лише А - В і не помічає, наприклад, А. Бути орієнтованим на A v В означає, так сказати, реагувати на ось таку ситуацію поняттям "А v В". І точно так само можна, звичайно, звертатися і з А - В. Скажімо, когось цікавить тільки А - Б, і, що б не відбувалося, він формулює тільки судження «А - В» або «~ (А - Б)», і я можу собі уявити, що він винесе судження «А - В> і на питання:« Чи бачиш ти В1> - скаже: «Ні, я бачу А - У>. Приблизно так само, як той, хто бачить А В, не погодиться з тим, що він бачить A v В. 48.

 Але «бачення» площині «цілком червоної» або «цілком синьої» - це ж «справжній» досвід, та все ж ми говоримо, що не можна мати одночасно обидва ці досвіду. 

 А якби людина запевняв нас, що бачить цю площину дійсно цілком червоною і цілком синьою одночасно? Ми повинні були б сказати: «Ти повідомляєш нам щось незрозуміле». Припущення «1 фут = ... см »для нас позачасне. Але можна було б уявити собі такий випадок, в якому міра фути і міра метра поступово якось змінювалися б, і тоді для перерахунку однієї в іншу їх довелося б весь час порівнювати. А хіба співвідношення довжин метра і фути у нас не визначено експериментально? Визначено; але результат отримав статус правила. 49.

 Якою мірою можна стверджувати, що пропозиція аріфметі-кидає нам якесь поняття? Що ж, давайте будемо інтерпретувати його не як пропозицію, не як рішення ого чи іншого питання, а як якусь - якимось чином прийняту - зв'язок понять. 252 і 625, з'єднані знаком рівності, дають мені, можна сказати, нове поняття. І доказ показує, що такий зв'язок виходить завдяки цьому рівності. - «Давати якусь нову поняття» може лише означати: вводити нове використання поняття, якусь нову практику. 

 «Як можна відторгнути пропозиція від його докази?» Це питання свідчить, звичайно, про неправильне розуміння. Доказ - це оточення пропозиції. «Поняття» - це розпливчасте поняття. 50.

 Не в кожній мовній грі присутній щось, що ми назвали б поняттям. 

 Поняття - це щось, подібне зображенню, з яким порівнюють предмети. 

 Хіба є поняття в мовній грі (2) *? Але її неважко розширити таким чином, щоб «плита», «куб» і т. д. стали поняттями. Наприклад, за допомогою якоїсь техніки опису або зображення таких предметів. Звичайно, немає ніякої різкої межі між мовними іграми, працюючими з поняттями, та іншими мовними іграми. Важливо, що слово «поняття» відноситься до якогось типу допоміжного засобу в механізмі мовних ігор. 

 51. Розглянемо небудь механізм. Наприклад, цей: 

 У той час як точка А описує коло, В описує фігуру вісімки. І ми запишемо це як пропозицію кінематики. Коли я наводжу механізм у дію, його рух доводить мені дана пропозиція; так само як. це робив би креслення на папері. Дана пропозиція приблизно відповідає зображенню механізму, з намальованими траєкторіями точок А і В. Тобто у відомому відношенні воно являє собою зображення цього руху. Воно фіксує те, у чому переконує мене доказ. Або - в чому воно мене вмовляє. 

 Якщо доказ реєструє хід процесу згідно певним правилом, то тим самим воно породжує якесь нове поняття. Породжуючи нове поняття, воно переконує мене в чомусь. Бо для цього переконання істотно, що протікання процесу за цими правилами завжди має породжувати одну і ту ж конфігурацію. («Одну і ту ж" відповідно нашим звичайним; правилам порівняння і копіювання.) 

 Звідси можливо стверджувати, що доказ має демонструвати наявність внутрішнього ставлення. Бо внутрішнє ставлення - це операція, що породжує одну структуру з іншої, що розуміється як еквівалент зображення самого цього переходу, так що тепер перехід, відповідний цьому ряду зображень, ео ipso являє собою перехід, відповідний таким правилам операції. 

 « Попередня  Наступна »
 = Перейти до змісту підручника =
 Інформація, релевантна "IV 1942-1943 1. "
  1.  ЛІТЕРАТУРА 1
      1942; La philosophie au moyenage. P., 1944. Vol. 1-2; L'esprit de la philosophie medievale. P., 1948; Existentialisme chr? Tien. P., 1948; Christianisme et philosophie. P., 1949; Jean Duns Scot. Introduction a ses positions fondamentales. P., 1952; Les metamorphoses de la Cit6 de Dieu. P., 1953; Church speaks to the modern world. N.Y., 1954; Peinture et r? Alite ... P., 1958; La philosophie et la
  2.  Альбер Камю (1913-1960)
      1942), «Сторонній» (1942), «Чума» (1947), «Збунтувався людина» (1951), «Листи до німецького друга» (1943-1944). «Падіння»
  3.  Зміст
      1942 р.) Причини невдач радянської Армії 19 Оборона Москви і Ленінграда 27 2.3 Заходи партії і уряду з організації оборони. Тил під час Великої Вітчизняної Війни 34 2.4. Початок формування антигітлерівської коаліції. Лендлізу 38 Вирішальна роль СРСР у розгромі Німеччини та її союзників 41 Корінний перелом у ході Великої Вітчизняної Війни. (19 листопада 1942 р. - 1943 р.) 41 Тегеранська
  4.  ІСТОРИЧНІ КАРТИ
      1942 34. Сталінградська оборонна операція 17 липня - 18 листопада 1942 р. 35. Сталінградська наступальна операція 19 листопада 1942 1-2 лютого 1943 36. Велика Вітчизняна війна Радянського Союзу 1941-1945 рр.. Загальний хід військових дій (22 червня 1941 - 18 листопада 1942 р.) 37. Велика Вітчизняна війна Радянського Союзу 1941-1945 рр.. Загальний хід воєнних дії (19
  5.  3.1. Корінний перелом у ході Великої Вітчизняної Війни
      1942 становище Червоної Армії залишалося важким. На фронті протяжністю 6200 км частинам Червоної Армії протистояли 258 дивізій і 16 бригад Німецької армії в кількості понад 6 млн чоло-вік. Другий фронт у Західній Європі не був ще відкритий англо-американськими союзниками. Це дозволило німецькому командуванню посилити угруповання військ проти СРСР на 80 дивізій. Радянська діюча армія до
  6.  § 3. Військово-політичні події другої світової війни в 1941 - 1942 г.
      1942 р. у Вашингтоні 26 країн підписали Декларацію Об'єднаних Націй. Вони зобов'язувалися використовувати всі свої ресурси для боротьби проти фашистського блоку, співпрацювати один з одним. Африканський театр військових дій утворився влітку 1940 р. Протягом декількох місяців основними протиборчими силами були 50-тисячний британський корпус, контролюючий Єгипет і частина Сомалі, і більш ніж
  7.  § 6. Військово-політичні події другої світової війни в 1943 р.
      1942 р. у країнах Східної та Південно-Східної Азії, на комунікаціях Атлантичного і Тихого океанів, в Північній і Північно-Західній Африці мали серйозне значення. Однак у стратегічному відношенні долі війни вирішувалися не на цих театрах і фронтах. Жоден з них не вирішував головних завдань, що стоять перед народами і державами, провідними війну проти фашистських агресорів. Ці завдання вирішувалися на
  8.  Омелян МИХАЙЛОВИЧ ЯРОСЛАВСЬКИЙ (1878 - 1943)
      - Радянський історик і публіцист, пропагандист марксистсько-ленінської теорії і етики, атеїст, антифашист. Осн. Етичні статті: «Про партетіке» (1925), «Мораль і побут пролетаріату в перехідний період» (1926). I. Класові принципи виховання. Світську і релігійну (конфесійне) виховання. Ф Надія Костянтинівна Крупська (1869-1939) Н.К. Крупська обгрунтувала і розвивала ленінську ідею
  9.  Державні комітети, комісії та інші відомства СРСР
      1942), Н.А. Вознесенський (лютий 1942 - березень 1949), М.3. Сабуров (березень 1949 - березень 1953), Г. П. Косяченко (березень-нюнь 1953), М.3. Сабуров (червень 1953 - травень 1955), Н. К. Байбаков (травень 1955 - травень 1957), І. І. Кузьмін (травень 1957 - березень 1959), А.Н. Косигін (березень 1959 - травень 1960), В.Н. Новиков (травень 1960 - липень 1962), В. Е. Димшиц (липень - листопад 1962), П.Ф. Ломако (листопад 1962 - жовтень 1965), Н. К.
  10.  3.2. Тегеранська конференція. Відкриття Другого фронту в Європі
      1943 складалася вкрай не однозначно. Війська союзників висадилися в Італії в липні 1943 р. Режим Муссоліні упав, але бойові дії в цьому регіоні тривали. Але «Другий фронт», тобто висадка союзників у Франції, поки ще відкритий не був. Радянське керівництво виражало невдоволення цим фактом недотримання союзниками домовленостей. Відчувалася певна недомовленість у відносинах