Головна
Безпека життєдіяльності та охорона праці || Хімічні науки || Бізнес і заробіток || Гірничо-геологічна галузь || Природничі науки || Зарубіжна література || Інформатика, обчислювальна техніка та управління || Мистецтво. Культура || Історія || Літературознавство. Фольклор || Міжнародні відносини та політичні дисципліни || Науки про Землю || Загальноосвітні дисципліни || Психологія || Релігієзнавство || Соціологія || Техніка || Філологія || Філософські науки || Екологія || Економіка || Юридичні дисципліни
ГоловнаФілософські наукиВибрані філософські праці й промови → 
« Попередня Наступна »
Вітгенштейн Л.. Філософські роботи. Частина II. Пер. з нім. / Вступ, стаття М. С. Козлової. Переклад М. С. Козлової і Ю. А. Асєєва. М.: Видавництво «Гнозис»., 1994 - перейти до змісту підручника

1939 - 1940 1.

«Математичне доказ має бути доступним для огляду». «Доказом» ми називаємо тільки ту структуру, яку нескладно відтворити. Повинно бути можливим чітко визначати, чи дійсно ми двічі маємо справу з одним і тим же доказом чи ні. Доказ має бути конфігурацією, напевно піддається точному відтворенню. Або ж: те, що суттєво в доказі, повинно напевно піддаватися точному відтворенню. Воно може, наприклад, бути записано двома різними почерками або різними кольорами. До відтворення докази не слід відносити те, що складає точне відтворення відтінку кольору або почерку. Повинно бути легко знову точно записати цей доказ. У цьому полягає перевага написаного докази перед доказом-зображенням. Істотне в доказах другого типу часто буває зрозуміле невірно. Креслення того чи іншого Евклидова докази може бути неточний в тому сенсі, що прямі не пряма, сегменти кола є не точно колоподібним і т. д. і т. д., і при цьому представляти собою таки точний доказ. А з цього зрозуміло, що даний малюнок, наприклад, не демонструє, що така конструкція дає багатокутник з п'ятьма сторонами рівної довжини, що він доводить положення геометрії, а не пропозиція про властивості паперу, циркуля, лінійки і олівця.

[В зв'язку з цим: доказ - картина експерименту.] 2.

Я хочу сказати: якщо неясну форму докази роблять ясною шляхом зміни запису, то спочатку створюють доказ там, де раніше його не було. Уяви собі тепер доказ расселовского положення про складання типу а + Комерсант = с, яке складалося б з декількох ти-сяч знаків. Ти скажеш: угледіти, чи правильно це доказ чи ні, - це суто зовнішня складність, що не представляє ніякого математичного інтересу. («Одна людина легко схоплює те, що інший схоплює насилу або взагалі не схоплює» і т. д. і т. д.)

Припущення полягає в тому, що визначення служать тільки для скорочення виразу , для зручності обчислення; але разом з тим вони є частиною обчислення. З їх допомогою отримують вираження, які без цього не могли б бути отримані. 3.

А як же бути ось з цим: «Хоча в расселовского обчисленні не можна - в звичайному сенсі - помножити 234 на 537, але є таке РАССЕЛОВСКОЄ літочислення, яке відповідає цьому множенню»? - Якого типу це відповідність? Можливо, воно таке: це множення можна виконати і в расселовского обчисленні, але тільки в іншій символіці - інакше кажучи, воно здійснимо в інший числовий системі. Тоді шляхом розрахунку в расселовского обчисленні можна було б, скажімо, вирішувати, правда, більш складним способом, і практичні завдання, для вирішення яких використовується таке множення.

Уявімо собі тепер кардинальні числа у вигляді 1,1 + 1, (1 + + 1) + 1, ((1 + 1) + 1) + 1 і т. д. Ти скажеш, що визначення, що вводять цифри десяткової системи, служать просто для зручності; числення 703 000х 40 ТОВ 101 можна було б виконати і в такій довгій запису. Але чи так це? - «Звичайно ж, це так! Я ж можу записати, побудувати числення в тій записи, яка відповідає обчисленню в десяткового запису ». - А як дізнатися, що вона їй відповідає? - Ну хоча б з того, що я вивів її з іншої з визначеного методу. - А якщо я подивлюся на неї знову через півгодини, хіба вона не може за цей час змінитися? Адже вона неозора.

І ось я питаю: чи можна переконатися в істинності пропозиції «7 034 174 + 6 594 321 = 13 628 495» також за допомогою докази, виконаного в першому записі? - Чи є такий доказ цієї пропозиції? - Відповідь: ні. 4.

Але не вчить Чи нас РАССЕЛ все ж одному типу додавання? Припустимо, ми довели методом РлссЕла, що (3 а ... g) (За ... I) zd (3 а ... s) є тавтологія; чи можна було б тоді звести наш результат до вираження g + / є s ? Адже це передбачає, що можна прийняти ці три елементи алфавіту за представників докази. Але явлено це в доказі РлссЕла?

Я міг би з усією очевидністю виконати расселовского доказ за допомогою груп знаків у дужках, що не вбачаючи нічого характерного в їх послідовності, так що бщло б неможливо уявити ту чи іншу групу знаків у дужках її останнім членом.

Припустимо навіть, ніби РАССЕЛОВСКОЄ доказ проведено в записі типу xY х2 ... х10 хп ... х100 ... як в десяткового запису і що в першу скобці 100 членів, у другій - 300, а в третій - 400; саме доказ показувало б у цьому випадку, що 100 + 300 = 400? - Що, якщо це доказ призводило б один раз до цього результату, а інший раз до іншого, наприклад 100 + 300 = 420? Що могло б переконати в тому, що результат докази, якщо воно правильно проведено, завжди залежить тільки від останніх цифр двох пар перших дужок? Але невеликі числа РАССЕЛ таки вчить нас складати, бо тут ми схоплює поглядом групи знаків в. дужках і можемо взяти їх в якості числових знаків, наприклад <ху »,« xyz »,« xyzuv ». Таким чином, РАССЕЛ вчить нас іншому обчисленню для отримання 5 з 2 і 3; і це вірно, хоч ми і говоримо, що логічне числення є тільки бахрома, підвішена до арифметичного підрахунку.

Застосування обчислення має дбати про себе сама. І це вірно саме для «формалізму».

Зведення арифметики до символічної логікою має показати застосування арифметики; це як би насадка, за допомогою якої здійснюється її застосування. Як якщо б людині показати спочатку трубу без мундштука, а потім мундштук, який вчить тому, як труба використовується і як приводиться в контакт із людським тілом. Однак та насадка, яку дає нам РАССЕЛ, з одного боку, занадто вузька, а з іншого-занадто широка: занадто всеобща і занадто специальна. Обчислення піклується про свій власний застосуванні.

Ми поширюємо наші ідеї від числень з невеликими числами на обчислення з великими числами, подібно до того як уявляємо собі, що якщо дистанція звідси до Сонця могла б бути виміряна за допомогою дюймової лінійки, то вийшло б як раз те, що ми сьогодні отримуємо зовсім іншим способом. Це означає, що ми схильні брати вимірювання довжини дюймової лінійкою в якості моделі і для вимірювання відстані між двома зірками.

Кажуть же, наприклад, у школі: «Якщо ми уявимо собі дюймові лінійки, покладені звідси до Сонця ...» - і здається, ніби тим самим пояснено, що розуміється під відстанню між Сонцем і Землею . І використання такої картини цілком правомірно, оскільки нам ясно, що виміряти відстань від нас до Сонця можна, але що не можна виміряти його дюймовими лінійками. 5.

Що, якби хтось сказав: «Власне, доказ того, що 1000 + 1000 = 2000, - це ж РАССЕЛОВСКОЄ доказ, який показує, що вираз ... є тавтологія »? Бо хіба не можна довести, що тавтологія виходить тоді, коли в перших і других дужках буде по 1000 членів, а в третій - 2000? І якщо такий доказ здійснимо, то я можу розглядати його як доказ наведеного арифметичного пропозиції.

Постановка того чи іншого питання у філософії завжди краще відповіді на запитання.

Бо відповідь на філософське питання цілком може бути неправильний; вичерпування ж одного питання за допомогою іншого неправильним бути не може.

Чи повинен я, наприклад, в даному випадку поставити якесь питання замість відповіді, яка говорить, що то арифметичне пропозицію недовідно методом РлссЕла?

1 лютого 3 червня.

Доказ того, що () () з () є тавтологія, полягає в тому, що один з членів третіх дужок завжди співвідносять з одним членом (1) або (2). І є ж багато способів такої звірки. Або можна навіть сказати: є багато способів встановити успішність кореляції 1-1. Одним з таких способів могло б бути, наприклад, побудова зіркоподібних візерунків, одного для лівого боку імплікації і одного для правої, і утворення з них - шляхом все нових порівнянь - єдиного орнаменту.

Таким чином, можна сформулювати правило: «Якщо ти хочеш знати, чи дійсно числа А і В разом дають С, запиши вираз форми ... і упорядкував відносно один одного змінні в дужках, записавши (або прагнучи записати) доказ того, що вираз є тавтологія ».

Моє заперечення проти цього полягає не в тому, що наказувати саме цей спосіб звірки є свавілля, а в тому, що таким способом не можна визначити, що 1000 + 1000 = 2000. 7.

Уяви, що ти записав «формулу» довжиною в милю і за допо-могою перетворення показав, що вона тавтологічна («якщо вона за цей час не змінилася», слід було б сказати). Тепер порахуємо члени в дужках або ж розмежуємо їх і зробимо вираз доступним для огляду, тоді виявиться, що в перших дужках стоїть 7566 членів, в других - 2434, а в третій - 10 000. Показав чи я тепер, що 2434 4 - 7566 = 10000? - Це залежить - можна сказати - від того, чи впевнений ти, що цей підрахунок дійсно дав число членів, які під час докази стояли в дужках.

Чи можна сказати: «РАССЕЛ вчить нас вписувати в третьому дужки стільки змінних, скільки їх стоїть у перших і других дужках разом»? Але по суті кажучи: він вчить завжди співвідносити один з членів в третьому дужках з одним із членів в (1) або (2). А вчимося ми тим самим того, яке число є сума двох заданих чисел? Можливо, скажуть: «Звичайно, адже в дужках (3) коштує парадигма, зразок нового числа». Але наскільки IIIIIIIIIIIIIIII є парадигма якогось числа? Поміркуй про можливість її використання як такої. 8.

Ця тавтологія РлссЕла, висловлюване пропозицією а + Комерсант = с, перш за все не показує, в якій системі позначень слід записувати число с, і немає підстав не використовувати для цієї мети форму а + Ь. - Адже РАССЕЛ зовсім не вчить нас техніці складання, наприклад, в десятковій системі. - А чи не можна вивести її самостійно з його техніки?

Поставимо питання так: чи можна вивести техніку десятковоїсистеми з техніки системи 1, 14-1, (14-1) + 1та т. д.? Чи не можна поставити те ж питання так: якщо є техніка рахунки в одній системі і техніка рахунки в інший, як показати, що обидві вони еквівалентні? 9.

«Доказ має показувати не просто, що це так, але і що це має бути так».

За яких умов числа показують це?

Можна відповісти так: «Якщо цифри і вважаю передаються в запам'ятовується конфігурації. Якщо цю картину використовують тепер завжди замість повторного прораховування цієї множини ». - Але тут ми говоримо, очевидно, лише про просторових картинах: а якщо, скажімо, ми знаємо напам'ять ряд слів і потім координуємо один до одного два таких ряду, супроводжуючи свої дії, наприклад, словами «перший - понеділок, другий - вівторок, третій - середовище »і т. д., хіба ми не можемо тим самим до-казать, що від понеділка до четверга проходить чотири дні? Питання в тому: що ми називаємо «легко запам'ятовується конфігурацією»? Що є критерієм того, що ми її запам'ятали? Або чи служить відповіддю на це: «Те, що ми використовуємо її як парадигми тотожності!»?

10. Щоб встановити властивості теореми, або докази, ми не проводимо експериментів.

Як ми репродукуючи, як відтворюємо той чи інший доказ? - Чи не виробляючи, наприклад, його вимірювання. А що, якби доказ являло собою неймовірно довгу викладку, яку навряд чи можна оглянути? Або розглянемо інший випадок. Візьмемо як парадигми числа, яке назвемо 1000, довгий ряд рисок, видряпаних на скелі. Цей ряд назвемо пратисячей [еталоном тисячі], і, щоб дізнатися, чи знаходиться на якійсь площі тисячі людей, будемо креслити палички або натягувати мотузки (відповідність 1 до 1). Знак числа 1000 ідентичний тут не образу, а фізичній предмету. Подібним же способом можна уявити собі прасотню і т. д., а також доказ того, що 10 х 100 = 1000, яке неможливо охопити одним поглядом.

Цифру 1000 в системі 1 + 1 + 1 + 1 ... не можна дізнатися з її вигляду. п.! +11111111111111111111111111 1111111111111111

Чи є ця схема доказом того, що 27 + 16 = 43, оскільки при підрахунку рисок зліва виходить 27, а при підрахунку рисок праворуч - 16, сумарне ж літочислення всього ряду дає 43?

Що незвичайного в тому, щоб дану схему вважати доказом цієї пропозиції? Незвично те, як відтворюється і розпізнається це доказ; те, що воно не має характерного візуального образу.

Але навіть якщо такий доказ не має візуального образу, проте його можна точно скопіювати (відтворити), - хіба в цьому випадку схема не буде доказом? Я міг би, наприклад, вигравіювати її на шматочку сталі і передавати його з рук в руки. Так, я міг би сказати комусь: «Ось тобі доказ того, що 27 + 16 = 43». Хіба в цьому випадку все-таки

 не можна сказати: він доводить це математичне положення за допомогою малюнка? Можна, але все ж малюнок не є доказом. 

 Але ось що можна було б все ж назвати доказом того, що 250 + 3220 = 3470: рахунок ведуть від 250 і одночасно починають інший рахунок за 1, координуючи той і інший рахунок таким чином: 251

 ... 1 252

 ... 2 253

 ... 3 і т. д. 

 3470 ... 3220 

 Це можна було б назвати доказом, що проходить через 3220 ступенів. Це все-таки доказ, але чи можна його назвати наочним? 12.

 Що являло собою по суті винахід десятковоїсистеми? Відкриття системи скорочень. Але що таке система скорочень? Чи є вона просто системою нових цифр або ж разом з тим системою їх застосування для скорочення? І якщо вірно останнє, то це є новим способом розгляду старої системи числових знаків. 

 Чи можна, відштовхуючись від системи 1 +1 + 1 ..., шляхом простого скорочення способу запису навчитися рахувати в десяткового системі? 13.

 Припустимо, я довів, по Расселу, вираз форми (3 xyz ...) (3 uvw ...) ID (3 а'с ...) - і тепер «роблю його наочним», вписуючи над змінними знаки xv х2, х3. .. - Чи випливає з цього, що я довів, по Расселу, арифметичне становище в десятковій системі? 

 Але ж кожному доказу в десяткового системі відповідає якийсь доказ в системі РлссЕла. - Звідки нам відомо, що це так? Залишимо осторонь інтуїцію. - Але це можна довести. - 

 Якщо в десяткового системі те чи інше число визначають, виходячи з 1, 2, 3, ..., 9, 0, а знаки 0, 1, ... , 9 - виходячи з 1, 1 + 1, (1 + 1) + + 1, ... , Чи можна тоді шляхом рекурсивного пояснення десятковоїсистеми отримати з будь-якого числа знак форми 1 + 1 + 1 ... ? Припустимо, хтось скаже: арифметика РлссЕла збігається із звичайною для чисел менше 10ю; далі ж вони розходяться. І щоб обгрунтувати це, він приведе доказ РлссЕла: Юю + + 1 = Юю. Чому б мені не довіряти цьому доказу? Як мене переконають у тому, що я, має бути, допустив помилку в цьому доказі РлссЕла? 

 Чи потрібно мені в цьому випадку доказ з іншої системи, щоб переконатися в тому, чи допустив я помилку в першому доказі? Хіба не досить того, що я записую це доказ в осяжній формі? 14.

 Не укладаються Чи всі мої труднощі в розумінні того, як можна, не виходячи за рамки логічного числення РлссЕла, прийти до поняття безлічі змінних у виразі «(3 xyz ...)> там, де цей вислів не схоплюється наочно? - 

 Ну, його все ж можна зробити наочним, якщо записати: (3 xv х2, х3 ...). Однак не все мені тут ясно: адже тепер змінився критерій ідентичності такого роду вираження. Тепер я уясняются іншим чином, що кількість знаків у двох таких виразах однаково. 

 По суті, я готовий заявити: доказ РлссЕла можна продовжувати щабель за щаблем, але врешті не зовсім ясно, що ж доведено - у всякому разі, не ясно за старими критеріями. Роблячи доказ РлссЕла наочним, я встановлюю щось про це доказі. 

 Смію стверджувати: зовсім не обов'язково визнавати техніку обчислення РлссЕла - цілком можливо і при використанні іншої техніки обчислення довести, що РАССЕЛОВСКОЄ доказ даного положення повинно мати місце. Однак саме це положення, зрозуміло, вже не буде грунтуватися в цьому випадку на доказі РлссЕла. 

 Або: те, що для кожного доведеного пропозиції форми т 4 - п = 1 можна уявити собі доказ РлссЕла, ще не говорить про те, що дана пропозиція грунтується на цьому доказі, бо можна собі уявити такий випадок, коли не можна розрізнити Расселова доказ однієї пропозиції і таке ж доказ іншої пропозиції; і про їх розходженні говорять лише тому, що вони являють собою переклади [на мову РлссЕла] двох явно помітних доказів. Інакше кажучи: щось - скажімо, логічне числення РлссЕла - перестає бути доказом у тому випадку, якщо воно перестає бути парадигмою, з іншого боку, може бути прийняте будь-яке інше літочислення, якщо воно служить нам парадигмою. 15.

 Те, що різні методи рахунку майже завжди узгоджуються, - факт. 

 Вважаючи клітини на шаховій дошці, я так чи інакше отримую 64. Якщо я вивчив два види слів, наприклад найменування чисел і ал-фавіт, і привожу їх у відповідність 1 - 1 

 а 1 Комерсант 2 з 3 і т. д., 

 то всякий раз, дійшовши до я отримаю "26". 

 Має місце: знання стовпця слів напам'ять. У якому випадку говорять, що я знаю вірш ... напам'ять? Критерії тут досить складні. Збіг з надрукованим текстом - один з них. Що має статися, щоб я засумнівався, чи справді я знаю напам'ять алфавіт? Важко собі це уявити. Однак проголошення вголос або запис по пам'яті послідовності слів я використовую як критерій рівності чисел або множин. 

 Чи повинен я тут сказати: це все не так уже й важливо - логіка все ж залишається основним обчисленням; тільки от відповідь на питання: ідентичні чи формули, представлені мені двічі? - Може бути в різних випадках різним. 

 16. По правді кажучи, не логіка змусить мене визнати вірним пропозиція такого виду: (3) (3) z> (3), - якщо в першому і другому дужках буде по мільйону змінних, а в третьому - два мільйони. Я хочу сказати - ніяка логіка не змусила б визнати в цьому випадку те чи інше вираження вірним. Щось інше змушує мене визнати цей вираз відповідним логіці. 

 Логіка змушує мене, лише оскільки змушує логічне числення. 

 Але для логічного числення з 1 ТОВ ТОВ складових таки важливо, що це число має бути разложима в суму 1 + 1 + 1 ... ! А для впевненості, що ми маємо вірне число одиниць, їх можна пронумерувати: 

 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 1 2 3 4 1 ТОВ ТОВ 

 Цей спосіб запису схожий на такий: 100, ТОВ, ТОВ, ТОВ, - який також робить цілком наочними числові знаки. Адже можна уявити собі, що хтось записав у книзі велику суму грошей в пфенігів так, що вийшли 100-значні числа, з якими мені доведеться вести розрахунок. Я б почав з переведення їх у ту чи іншу наочну запис, але все ж називав би їх «числовими знаками» і звертався б з ними як зі своєрідними дублікатами чисел. Я вважав би їх дублікатами чисел навіть у тому випадку, якби мені сказали: у N стільки шилінгів, скільки горошин вміщається в цю посудину; або по-іншому: «У нього стільки шилінгів, скільки букв в Пісні пісень». 17.

 Запис «Хр х2, х3» - перетворить вираз (3 ...) в картину, а тим самим і в тавтологію, доказову методом РлссЕла. Задамося таким питанням: хіба не можна допустити, що в доказі РлссЕла не гарантоване виконання кореляції 1 - 1, і що, побажай ми, наприклад, використовувати цю кореляцію для додавання, завжди б виходив результат, що суперечить звичайному результату, і що ми відносили б це на рахунок втоми, з-за якої непомітно для себе, пропустили окремі дії? І хіба не можна було б тоді сказати: не перешкодь втома, ми отримували б завжди однаковий результат? Тому що того вимагає логіка? А хіба вона цього вимагає? Хіба ми тут не виправляємо логіку за допомогою іншого обчислення? Припустимо, що замість кожних 100 дій ми б використовували в процесі логічного числення їх підсумок і щоразу отримували надійні результати, намагаючись ж виконати кожну дію окремо, не досягали б цього. - На це можна заперечити: але ж числення грунтується на одиничних діях, оскільки сумарна дія зі ста складових визначається все ж через поодинокі дії. - Так, визначення свідчить: провести сумарна дія зі ста складових означає те ж саме, що і ... та все ж ми виробляємо разове підсумовування 100, а не сто дій окремо. 

 При укрупненні обчислення я слідую проте якомусь правилу а як же обгрунтовується це правило? Що якщо 

 скорочене і повне докази дають різні результати? 18.

 Сказане мною зводиться до наступного: можна, наприклад, визначити 10 як 1 + 1 + 1 + 1 ... , А 100 х 2 - як 2 + 2 + 2 ... , Але саме тому не обов'язково представляти 100 х 10 як 10 + 10 + 10 ... або навіть як 1 + 1 + 1 + 1 ... . 

 Переконатися в тому, що 100 х 100 = 10 000, можна «скороченим» методом. Чому б тоді не вважати цей метод початковим методом докази? 

 Скорочений метод вчить мене тому, що повинно виходити при використанні нескорочені. (А не навпаки.) 19.

 «Але ж обчислення грунтується на окремих діях ...» Так, але відбувається це зовсім інакше. Сам процес доказу зовсім іншою. Я міг би, наприклад, сказати: 10 = 1 + 1 + + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, так само як 100 = 10 + 10 + 10 + + 10 +10 +10 +10 +10 +10 +10. 

 Хіба пояснення числа 100 я не засновував на послідовному додаванні 1? Так що ж, це додаток відбувалося так само, як якщо б я складав 100 одиниць? Чи потрібен взагалі в моїй записи знак виду 1 + 1 +1 ... з сотнею доданків? Небезпечно тут, мабуть, те, що скорочений метод вважають блідою тінню нескорочені. Правило рахунку - це ще не сам рахунок. 20.

 У чому ж полягає «сумарне» виконання ста дій обчислення? Та в тому, що визначальним вважається не дія з одиницями, а якесь інше дію. 

 При звичайному додаванні цілих чисел в десятковій системі ми виробляємо дії з одиницями, з десятками і т. д. Чи можна стверджувати, що метод грунтується на виконанні лише поодиноких дій? Це можна обгрунтувати так: результат реального складання 7583, пояснення ж цього знака, його значення, яке в кінцевому рахунку повинно знайти своє вираження і при його використанні, дається таким чином: 1 + 1 +1 + 1 + 1 і т. д. Але чи дійсно це так? Чи потрібно пояснювати даний числовий знак таким способом або це пояснення неявно виражається в його застосуванні? Я думаю, що, поміркувавши над цим явищем, ми переконаємося, що це не так. 

 Розрахунок за допомогою графіків або логарифмічною лінійки. Очевидно, що при перевірці рішення, отриманого одним способом за допомогою рішення, отриманого іншим шляхом, результат зазвичай виходить один і той же. Але якщо існує кілька способів - хто скаже, в тому випадку, якщо вони не збігаються, який з них є істинний спосіб розрахунку, висхідний до витоків математики? 21.

 Там, де може виникнути сумнів у тому, чи дійсно це є картиною даного докази, там, де ми готові поставити під сумнів ідентичність докази, - там ця викладка втрачає свою доказову силу. Адже доказ служить для нас також мірою. 

 Чи можна сказати: до доказу відноситься визнаний нами критерій вірного відтворення докази? Це означає, наприклад, що ми повинні бути соверен ».,> J ^ c ^ ни в тому, що не пропустили при доказі жодного знака. І що ніякої нечистій силі не вдасться нас обвести навколо пальця, без нашого відома то прибираючи, то додаючи число і т. д. Так можна висловитися, коли доречно стверджувати: обдури нас сам чорт, все одно все буде в порядку, все його витівки, спрямовані проти нас, не досягнуть мети. 22.

 Доказ, скажімо так, виявляє не тільки те, що становище таке, але і те, як вийшло, що воно таке. Воно показує, як 13 +14 дає в результаті 27. «Доказ має бути доступним для огляду» означає: ми повинні бути готові до того, щоб використовувати його як дороговказною нитки при винесенні нашого судження. 

 Якщо я кажу: «Доказ - це картина», - то його можна уявити собі як кінокартини. Доказ проводиться раз і назавжди. Доказ, звичайно ж, має бути зразковим. Доказ (картина докази) показує нам результат процесу (конструкції), і ми впевнені, що процес, відрегульований таким чином, завжди призведе до такої картині. (Доказ демонструє нам синтетичний факт.) 23.

 Стверджуючи, що доказ - свого роду зразок, ми не сподіваємося, звичайно, сказати нічого нового. 

 Доказ має бути процесом, про який я кажу: «Так, так має бути; це повинно виходити, якщо діяти згідно даному правилу». 

 Спочатку доказ, можна сказати, має представляти 

 собою щось на зразок експерименту а потім береться просто як 

 картина. 

 Якщо я ссиплю разом 200 яблук і ще 200 яблук, порахую їх і отримаю 400, це ще не доказ того, що 200 + 200 = 400. Це означає, що ми не змогли б використовувати даний факт як парадигма для визначення всіх східних ситуацій. Коли ми говоримо: «Ці 200 яблук і ці 200 яблук дають у сумі 400», - це означає: якщо їх зсипати разом і при цьому жодне не додасться і не зменшиться, то їх співвідношення буде нормальним. 24.

 «Це зразок складання 200 і 200», а не: «Це зразок того, що 200 і 200 в сумі дають 400». Втім, процес складання дав результат 400, але потім ми беремо цей результат як критерій правильного складання - або просто: складання - цих чисел. 

 Доказ має бути нашим зразком, картиною того, як ці операції дають результат. 

 «Доведене пропозицію» висловлює те, що може бути вичитано з цього докази-картини. 

 Доказ є зразком правильного підсумовування 200 і 200 яблук. Це означає, что.оно визначає нове поняття: «сумарний рахунок 200 і 200 предметів». Або можна сказати: «новий критерій того, що нічого не поменшало і не побільшало». Доказ визначає л вірний сумарний підрахунок ». Доказ-нашим зразок отримання певного результату, зразок, службовець мірилом (масштабом) реальних змін. 25.

 Доказ переконує нас у чомусь але нас цікавить 

 не саме стан переконаності, - куди важливіше для нас способи застосування, що підкріплюють цю переконаність. 

 Тому нас залишає байдужим твердження: доказ переконує нас в істинності даного висловлювання, - оскільки цю фразу можна витлумачити по-різному. 

 Коли я кажу: «Доказ переконує мене у чомусь», - то вислів, що виражає дане переконання, що не відтворюється в доказі. Так, при множенні ми не обов'язково записуємо результат в формі пропозиції ... х ... = ... . Можна, очевидно, сказати: множення дає нам впевненість у цьому, навіть якщо сама пропозиція, що виражає дію множення, що не формулюється. 

 Психологічний недолік доказів, конструюють висловлювання, той, що завдяки їм ми легко забуваємо, що сенс результату вичитується не з нього самого, а з докази. У цьому плані проникнення символіки РлссЕла в систему доказів завдало їй багато шкоди. 

 Немов шалі, що огортає людську фігуру, знаки РлссЕла вуалюють до невпізнання важливі форми докази. 26.

 Поміркуємо над тим, що математична переконливість досягається граматичними пропозиціями; виразом, результатом цієї переконливості служить те, що ми приймаємо якесь правило. Тому немає нічого дивного в тому, що словесне висловлю-ніє результату математичного докази ввергає нас в плутня міфотворчості. 27.

 Я, наприклад, смію стверджувати: навіть тоді, коли доведене математичне пропозицію, здавалося б, вказує на реальність поза себе самого, проте воно виражає лише визнання нової міри (заходи реальності). 

 Таким чином, конструируемого (довідність) цього символу (тобто математичного пропозиції) сприймається як знак того, що символи слід перетворювати таким способом. Пробилися ми в ході докази до деякого знання? І висловлює чи підсумкове пропозицію це знання? Не залежно чи це знання від докази (відсічена чи пуповина)? - Ось тепер пропозицію використовується саме по собі, без прив'язки до доказу. 

 Чому б не сказати: крізь доказ я пробився до вирішення? 

 Доказ включає цей підсумок в систему рішень. (Можна, звичайно, сказати і так: «Доказ переконує мене в доцільності цього правила». Але, сказавши так, можна легко впасти в оману.) 28.

 Доведене таким чином пропозиція служить правилом, тобто парадигмою. Адже ми орієнтуємося на правила. 

 Але чи приводить доказ лише до того, що ми орієнтуємося на це правило (визнаємо його), або воно разом з тим показує і те, як слід орієнтуватися на нього? Математичне пропозиція повинна показувати нам і те, що має сенс говорити. 

 Доказ конструює пропозицію; але важливо, як воно його конструює. Іноді, наприклад, воно конструює спочатку число, потім випливає твердження, що таке число існує. Якщо ми говоримо, що дана конструкція повинна переконувати у правильності цього твердження, то це означає: вона повинна нас вести до того, щоб використовувати дану пропозицію певним чином. Вона повинна визначати, що слід визнати осмисленим, а що ні. 29.

 Що є спільного в цілях Евклидова побудови - скажімо, ділення відрізка на дві рівні частини - та виведення одного правила з інших шляхом логічних умовиводів? 

 Загальне полягає, мабуть, у тому, що шляхом конструювання-ня знака я добиваюся визнання знака. 

 Чи можна сказати: «Математика створює нові вирази, & НЕ нові пропозиції»?? 

 Можна в тому сенсі, що математичні пропозиції є раз і назавжди прийнятими в мові інструментами, а їх доказ лише вказує те місце, де вони знаходяться. В якій же мірі є «інструментами мови», наприклад, тавтології РлссЕла? 

 РАССЕЛ, у всякому разі, не вважав би їх такими. Його помилка, якщо така була, могла б полягати лише в тому, що він випустив з уваги їх застосування. 

 Доказ дозволяє вивести одну структуру з іншої. Воно спрямовує процес породження однієї структури з іншої. Все це, звичайно, вірно - але воно приводить в різних випадках до зовсім різних результатів! Що ж являє для нас інтерес в такому переході? 

 Припусти я навіть, що доказ закладено в систему мови, хто скаже мені, як слід використовувати цей інструмент, для чого він служить? 30.

 Доказ веде мене до твердження: це має бути так. Припустимо, я розумію це у випадку Евклидова докази або в разі доведення 25 х 25 = 625, але чи буде картина тієї ж, скажімо, у разі доведення РлссЕла "I-р z) q - р: Z): (/"? Що означає тут «це має бути так» на відміну від «це так»? слід мені сказати: «Ну, я беру це вираження в якості парадигми для всіх ні про що не говорять [неінформативних] пропозицій цієї форми»? 

 Я простежую доказ і кажу: «Так, так має бути; я повинен констатувати таке вживання моєї мови». Я хочу сказати, що це «повинно» відповідати рейках, які я прокладаю у мові. 31.

 Сказавши, що доказ вводить нове поняття, я мав на увазі приблизно ось що: доказ додає до парадигм мови нову парадигму; аналогічно як, особливим чином змішавши червонуватий і синій кольори, ми отримуємо новий відтінок і даємо йому нову назву. 

 Але якщо ми і схильні називати доказ такої новою парадигмою, то в чому полягає точне подібність докази з такого роду понятійним взірцем? 

 Хочеться сказати: доказ змінює граматику нашої мови, змінює наші поняття. Воно формує нові взаємозв'язки, і воно створює поняття цих взаємозв'язків. (Воно не встановлює, що вони існують; швидше, вони не існують доти, поки воно їх не створить.) 32.

 Яке поняття створює d р "? І все ж здається можливим сказати, що" рзр "служить нам знаком якогось поняття. 

 "Р ID р" є формулою. Чи встановлює формула якесь поняття? Можна сказати: «Звідси за формулою ... слід те-то». Або ж: «Звідси таким-то чином випливає, що ...» Але то Чи це пропозиція, в якому я зацікавлений? А ось таку пропозицію: «Зроби звідси висновок таким чином ...»? 33.

 Якщо я говорю про доказ, що воно є зразком (картиною), то і про найпростішому расселовского висловлюванні я повинен сказати те ж саме (як про вихідної клітці докази). Можна поставити питання: як вийшло, що пропозицію "р з р" стали розглядати як істинне твердження? Адже його не використали в практиці мовного спілкування, проте існувала все ж тенденція в особливих обставинах (коли, наприклад, займалися логікою) вимовляти його з повною переконаністю . 

 Як же йде справа з "р d р"? Я бачу в ньому звиродніле пропозицію, яке знаходиться у сфері істинності. Я фіксую його як важливу точку перетину в системі осмислених пропозицій. Як точку опори нашого способу зображення [опису, викладу]. 34.

 Побудова докази починається з тих чи інших знаків, і деякі з них, так звані константи, повинні вже мати значенням у мові. Так, важливо те, що,, v "і" ~ "вже звично використовуються нами, і звідси побудова докази в Principia Mathernatica знаходить свою значимість, свій сенс. Однак знаки докази не дозволяють угледіти це значення. 

 «Використання» докази, звичайно, повинно мати справу з відповідним використанням його знаків. 35.

 Як вже говорилося, мене у відомому сенсі цілком переконують елементарні пропозиції Рассела. 

 Тим самим переконаність, рождаемая доказом, не може виникати тільки з конструкції докази. 36.

 Якби я побачив у Парижі еталон-метр, але не знав би нічо-го про інститут вимірювання і його зв'язку з цим стрижнем-хіба міг би я сказати, що мені відоме поняття еталона метра? А чи не є частиною якогось інституту і доказ? Доказ - якийсь інструмент, але чому я кажу: «інструмент мови»? 

 Чи необхідно тоді, щоб рахунок був інструментом мови? 37.

 Те, чим я постійно зайнятий, - це, очевидно, підкреслення відмінності між визначенням сенсу і використанням сенсу. 38.

 Визнати доказ: його можна визнати як парадигми тієї фігури, яка виникає, якщо до фігур певного роду вірно застосувати ці правила. Його можна визнати як правильний висновок підсумкового правила. Або як правильний висновок з вірного емпіричного, пропозиції; або як вірний висновок з помилкового емпіричного пропозиції; або просто як правильний висновок з емпіричного пропозиції, про яку нам невідомо, істинно воно або помилково. 

 Ну, а чи можна сказати, що розуміння докази як «докази конструюються ™» доведеного пропозиції є в якомусь сенсі більш простим, первинним, ніж будь-яке інше розуміння? 

 Тобто чи можна сказати: «Кожний доказ доводить насамперед те, що повинна вийти ця знакова форма, якщо застосувати дане правило до даних форм знаків»? Або: «Доказ доводить насамперед те, що може виникнути ця форма знака, якщо оперувати цими знаками згідно з цими правилами перетворення».

-

 Це вказувало б на геометричне використання. Бо пропозицію, істинність якого, як я стверджую, вже доведена, є тут геометричним висловлюванням - граматичним пропозицією, що зачіпають трансформації знаків. Можна, наприклад, сказати: доведено, що має сенс стверджувати, що хтось отримав знак ... за цими правилами з ... і ..., але позбавлене сенсу і т. д. і т. д. 

 Або: якщо позбавити математику всякого змісту, то залишилося б лише те, що певні знаки можуть бути сконструйовані з інших за певними правилами. - Найменше, що довелося б визнати: що ці знаки ... - А це визнання закладено в основу всякого іншого. - І все ж я хотів би сказати: послідовність знаків доказів- тва не тягне за собою з необхідністю будь-яке визнання. Якщо ж ми одного разу почали з визнання, то воно не обов'язково має бути «геометричним». 

 Доказ могло б складатися всього лише з двох ступенів, наприклад з виразу "(х) - fx" і вирази, / а "- чи грає вірний перехід по якомусь правилу тут істотну роль? 39.

 Що ж у доведеному є непохитно вірним? Визнати чи інша пропозиція непорушно вірним - хочу я сказати - значить використовувати його в якості граматичного правила: тим самим з нього усувається невизначеність. «Доказ має бути доступним для огляду» означає, власне, не що інше як: докази не експеримент. Те, що випливає з докази, ми приймаємо не тому, що так одного разу вийшло, або тому, що так часто виходить. У доказі ми бачимо підставу для твердження: так повинно було вийти. 

 До даного результату приводить, доводить його не саме ця залежність, - ми переконуємося в цьому і приймаємо ці конфігурації (картини) за зразки того, що виходить, якщо ... Доказ є нашим новим зразком того, що виходить, якщо нічого не додається і не зменшене, якщо ми правильно вважаємо і т. д. Але ці слова показують, що я толком не знаю, зразком чого є доказ. Я хочу сказати: за допомогою логіки Principia Mathematica можна обгрунтувати арифметику, в якій 1000-f 1 = 1000; а все, що для цього потрібно, ставило б під сумнів очевидну правильність розрахунків. Якщо ж ми їх не піддаємо сумніву, то причина цього криється аж ніяк не в нашій переконаності в тому, що логіка істинна. 

 Якщо в ході докази ми говоримо: «Це повинно вийти» то визначають це не підстави, які нам не видно. Нас змушує прийняти даний результат не те, що ми його отримали, а то, що він кінець цього шляху. 

 Це і є доказом - те, що нас переконує: конфігурація, нас не переконуюча, не є доказом навіть у тому випадку, якщо вона здатна пояснювати доведене висловлювання як приклад. 

 Це означає: для демонстрації того, що доведено, не може знадобитися фізичне дослідження конфігурації докази. 

 87 

 5 - 1923 40.

 Побачивши на картині зображення двох людей, ми не говоримо спочатку, що один на вид менше іншого, а вже потім - що один, здається, стоїть далі іншого. Цілком можливо, що в очі кинеться чимала величина фігури, а її віддаленість. (Це, як мені здається, пов'язане з питанням про «геометричному» розумінні докази.) 41.

 «Доказ - зразок того, що називають таким». 

 А зразком чого повинен служити перехід від "(х) - fx" до, / а "? Принаймні це зразок того, як можна робити висновок від знаків типу "(х) - fx". 

 Зразок я уявляю собі у вигляді якогось обгрунтування, але в даному випадку це не є обгрунтуванням. Зразок (х) fx fa не доводить виводу. Що ж до обгрунтування висновку, то воно лежить за межами цієї знакової схеми. І все ж щось є в тому, що математичне доказ створює нове поняття. - Кожний доказ - як би визнання певного використання знаків. А що в ньому визнається? Тільки таке вживання правил переходу від формули до формули? Або ж в деякому сенсі визнаються і «аксіоми»? 

 Чи можна сказати: я визнаю р р як тавтологію? 

 Я приймаю "pz> p", наприклад, як максиму виводу. 

 Думка про те, що доказ створює якесь нове поняття, 

 можна приблизно виразити і так: доказ - не сума його 

 підстав і правил виведення, а нова будівля - хоча воно і являють 

 приклад і одного, й іншого стилю. Доказ - це нова 

 парадигма. 

 Поняття, створюване доказом, може бути, наприклад, якимось новим поняттям виведення, правильного умовиводи. Але чому я визнаю це вірним умовиводом - підстава цього лежить за межами докази. 

 Доказ створює нове поняття - створюючи новий знак або будучи таким. Або ж відводячи пропозицією, виступаючому його результатом, нове місце. (Бо доказ не рух, воно - сам шлях.) 42.

 Неможливо уявити собі, що ця підстановка в цьому виразі дасть небудь інше. Або: я змушений визнати, що це непредставімо. (Результат же експерименту може виявитися тим чи іншим.) Проте можна уявити собі випадок, коли на вигляд дока-зання змінюється, - у своїй глибинній основі залишаючись тим же самим, і тоді говорять, що воно незмінно, яким би не було зовнішнє враження. 

 Хіба, по суті, ти не говориш лише те, що доказ береться як доказ? 

 Доказ має бути наочним процесом. Або також: доказ є наочним процесом. Доказ доводить не щось, приховане за доказом, але саме доказ. 43.

 Якщо я кажу: «Перш за все має бути очевидно, що ця підстановка дійсно дає в результаті це вираз», - то я міг би також сказати: «Я повинен прийняти це як безперечне твердження», - але тоді для цього повинні бути вагомі підстави, наприклад те, що одна і та ж підстановка незмінно дає один і той же результат і т. д. Так чи не полягає наочність саме в цьому? 

 Я хочу сказати: там, де немає наочності і, значить, доречно засумніватися в тому, що результат дійсно отриманий внаслідок цієї підстановки, - там доказ зруйновано. І зовсім не якимось дурним і несерйозним способом, не мають відношення до природи докази. 

 Або: логіка не служить основою всієї математики вже тому, що сила логічного доказу укладена в силі геометричного доказу і руйнується разом з нею *. Це означає: логічний доказ, наприклад расселовского типу, має силу до тих пір, поки воно володіє також геометричній силою переконання% і скорочення такого логічного доказу може володіти такою силою і залишатися завдяки цьому доказом, тоді як повністю виконана расселовского конструкція таким не є . Ми схильні вірити в те, що логічний доказ має своєї власної абсолютної доказовістю, що виникає з безумовною надійності основних логічних законів і правил логічного висновку. Хоча все ж доведені таким чином судження не можуть бути достовірніше, ніж правильність застосування цих законів виводу. 

 Логічна достовірність докази, смію стверджувати, не перевищує його геометричній достовірності. 44.

 Якщо ж доказ є зразком, то необхідно 5 * уточнити, що має вважатися вірним відтворенням докази. 

 Якщо, наприклад, в доказі зустрічається знак "І IIIIIIIII то не зовсім ясно, чи повинна вважатися відтворенням цього знака тільки« чисельно рівна »група рисок (або, скажімо, хрестиків) або ж годиться і якесь інше, не надто мале число. І т. д. 

 Однак виникає питання, що має вважатися критерієм відтворення докази - критерієм тотожності доказів. Як їх треба порівнювати для встановлення тотожності? Чи є вони тотожними, якщо однаково виглядають? Мені хотілося б, так сказати, продемонструвати, що в математиці можна уникнути логічних доказів. 45.

 «За допомогою відповідних дефініцій ми можемо в логіці РлссЕла довести, що" 25 х 25 = 625 "». - А чи можна визначити звичайну техніку докази за допомогою рассел-ської? Але як можна визначити одну техніку докази через якусь іншу? Як може одна з них пояснити суть інший? Адже якщо одна є «скороченням» інший, то вона повинна бути систематичним скороченням. Водночас потрібне підтвердження того, що можна систематично скорочувати довгі докази і таким чином отримувати нову систему доказів. 

 Довгі докази спочатку завжди супроводжують короткі, як би опікуючи їх. Але нарешті настає момент, коли вони вже не можуть більше супроводжувати коротким і ті проявляють свою самостійність. 

 Розгляд довгих, недоступних огляду логічних доказів-це лише засіб показати, як ця техніка - спочиваюча на геометрії докази - може втратити чинність, а нова техніка - стати необхідною. 46.

 Готовий стверджувати: математика - це строкатий суміш технік докази. - І на цьому грунтується можливість її різноманітного застосування та її значимість. 

 А це ж рівноцінно твердженням: володіючи системою обчислення, подібної расселовского, І створюючи на її основі за допомогою відповідних дефініцій системи, подібні диференціального числення, ви б винаходили новий розділ математики, Але можна було б просто сказати: придумай людина десяткову систему рахунку - це було б якесь математичне винахід! - Навіть якби він вже мав у своєму розпорядженні Principia Mathematica РлссЕла. - Яким чином приводяться у відповідність дві системи доказів? Встановлюють правило перекладу, за допомогою якого вираження, доведені в одній системі, можна перевести у вирази, доведені в іншій системі. 

 Адже можливо уявити собі, що деякі - або все - системи доказів сьогоднішньої математики скоординовані таким чином з однією системою, наприклад системою РлссЕла. Так що всі докази, хоча й більш допитливим способом, були здійсненні в цій системі. Чи означає це, що тоді існувала б тільки одна система, а не багато систем? - Але тоді повинна існувати можливість показати в рамках цієї однієї системи, що вона може бути перетворена в безліч інших систем. - Одна частина системи буде володіти особливостями тригонометрії, інша - алгебри і т. д. Таким чином, можна сказати, що в цих частинах використовуються різні техніки. Я говорив: той, хто винайшов рахунок у десятковій системі, зробив математичне відкриття. А чи не міг він зробити це відкриття цілком у расселовского символах? Тоді він відкрив би, так би мовити, новий аспект. 

 «Але тоді істинність істинних математичних суджень була б доказова, виходячи з цих загальних підстав». - Мені здається, в цьому-то й заковика. Коли ми говоримо, що математичне судження істинно? - 

 Мені здається, що ми вводимо, самі того не відаючи, нові поняття 

 в логіку РлссЕла. Наприклад, коли уеганавліваем, які 

 знаки форми "(3 х, г /, z, ..)" повинні вважатися еквівалентними один одному, а які нееквівалентними. 

 Чи є само собою зрозумілим те, що "(З х, г /, z)" не їсти той же знак, що і "(3 х, г /, z, / г)"? 

 Але припустимо, я спочатку вводжу "р vq" і "~ р" і конструюю з їх допомогою кілька тавтологію, а потім розгортаю, наприклад, ряд ~ р,-р, р і т. д. і вводжу таку запис, як ~ 1р , 

 ~ 2р, ... ~ 10р, ... Я б сказав: спочатку ми, мабуть, зовсім не думали про можливість такого ось упорядкування, а тепер ввели в наше літочислення нове поняття. У цьому і полягає «новий аспект». Адже ясно, що я міг би тут ввести поняття числа, хоча б і дуже примітивним і обмеженим способом, але цей приклад показує все, що мені потрібно. 

 Наскільки вірно було б стверджувати, що за допомогою ряду ~ р, ~ ~ р, р і т. д. в логіку вводилося би якесь нове поняття? - Так от, перш за все можна сказати, що це зроблено за допомогою «і т. д.». Бо це «і т. д.» символізує новий для мене закон освіти знаків. Характерною ознакою цього є те, що для пояснення десяткового запису необхідно рекурсивне 

 Нова техніка 

 Можна сказати й так: мати поняття про расселовского побудові доказів і пре дложеній ще не означає мати поняття про лю- 

 Я б сказав: РАССЕЛОВСКОЄ обгрунтування математики як би запізнюється з введенням нових технік - доти поки нарешті, не вважатимуть, що вони вже більше зовсім не * потрібні. 

 (Мабуть, це схоже на те, як якщо б я настільки довго філософствував про поняття вимірювання довжини, що забув про необхідність реально встановити для такого виміру ту чи іншу одиницю 

 47. А чи можна те, що я хочу сказати, висловити так: «Якби 

 ла, то за допомогою расселовского техніки, наприклад, диференціальне числення ще, звичайно, не було б винайдено. Стало бути, той, хто відкрив би цей тип розрахунку в расселовского численні »? 

 Припустимо, переді мною РАССЕЛОВСКІЄ докази запропонованого- "Р р 

 "~ Р -" р = 

 і ось я знаходжу скорочений спосіб доказаг 

 "Р =-Ю р", 

 Це рівнозначно тому, як якби я наї розрахунку в рамках колишнього обчислення. У чому ж полягає ця ходка? 

 Скажи мені: чи відкрив я навчанні множенню моє підвид цих обчислень, як множення з жителями, а тому я ввів запис "а" = ...? " Очевидно, що використання однієї тільки «скороченою» запісі 

 або який-небудь інший запису - "Ш2" замість "16 х 16" - ще не дає нічого нового. Важливо те, що ми тепер ці сомножители просто вважаємо. 

 Чи є "1615" просто інший записом "16 х 16 х 16 х 16 х 16 х 16 X 16х 16х 16х 16х 16х 16х 16х 16 X 16"? Доказ того, що 16І5 = ... полягає не просто в тому, щоб помножити 16 на саме себе 15 разів і отримати цей результат, - доказ має показувати, що число використовується як сомножителя 15 разів. 

 Якщо я запитую: «Що ж нового в« новому способі обчислення », званому зведенням у ступінь», то відповісти на це питання дуже важко. Слово «новий аспект» невизначено. Воно означає, що ми тепер дивимося надягло трохи інакше, - але питання в тому, яке істотне, важливий прояв цього «іншого бачення». Насамперед я хочу сказати: «Зовсім не обов'язково, щоб впадало в очі, що в певних випадках все сомножители рівні» - або: «Твір однакових співмножників є нове поняття» - або: «Нове полягає в тому, що ми по-іншому виробляємо розрахунки ». При зведенні в ступінь явно істотно те, що враховується число співмножників. Однак це не означає, що ми кожного разу звертаємо увагу на це число. Нам не повинно кидатися в очі, що маються твори з 2, 3, 4 і т. д. співмножники, хоча ми часто отримуємо такі результати. Новий аспект - але знову постає питання: що є його істотною стороною? Для чого я використовую те, на що звернув увагу? Мабуть, перш за все це виражається в записі. Я пишу, наприклад,,, а2 "замість" ах а ". Тим самим я адресую до числовому ряду (відсилаю до нього), чого раніше не відбувалося. Так я встановлюю тут нову зв'язок! - Зв'язок - між чим і чим? Між технікою підрахунку сомножителей і технікою множення. 

 Таким чином кожне доказ, кожне окреме обчислення дає нові зв'язки, 

 Але один і той же доказ показує, що ах ах ах а ... = Комерсант, і разом з тим що ап = Комерсант; потрібно лише здійснити перехід згідно з визначенням "а" ". 

 Так саме цей перехід і є новим. Якщо ж це лише перехід до старого доказу, то як він може бути важливим? «Це тільки інший спосіб запису». Коли ж він перестає бути тільки іншим способом запису? 

 Чи не в тому випадку, коли годиться лише один спосіб запису, а ніякої іншої не може бути використаний таким чином? Якщо хтось замість, / (а) "напише" (а) / '- це можна назвати «відкриттям нового аспекту»; можна сказати: «Він розглядає функцію як аргумент її аргументу». Або якщо хтось замість "ах а "запише" х (а) ", можна сказати:« Те, що раніше розглядали як особливий випадок функції з двома аргументами, він розглядає як функцію з одним аргументом ». Той, хто робить так, звичайно ж, в деякому сенсі змінює аспект, він, наприклад, поєднав цей вираз з іншими, зіставив з тими, з якими раніше не порівнював. - Але чи є в даному випадку це важливою зміною аспекту? Ні, до тих пір поки не будуть зроблені певні висновки. Вірно, ввівши поняття числа заперечень , я змінив аспект логічного числення. «Так я його ще не розглядав», - можна було б сказати. Але важливим це зміна стає тільки тоді, коли воно захоплює застосування знака. Осмислення фути як 12 дюймів, звичайно, означало б зміну аспекту «фута », але важливим це зміна стало б лише в тому випадку, якщо б і довжина тепер вимірювалася в дюймах. Той, хто вводить підрахунок знаків заперечення, вводить новий спосіб відтворення знаків. 

 Правда, для арифметики, яка тлумачить про рівність чисел, абсолютно байдуже, як встановлюється числове рівність двох класів, але для її висновків не байдуже, як зіставляються один з одним відповідні знаки, яким способом, наприклад, встановлюється, чи однаково число цифр у двох числових знаках . Не введення числових знаків у вигляді скорочень, а метод рахунку, - ось що важливо. 48.

 Я хотів би пояснити неоднорідність математики. 49.

 «Я можу довести і в расселовского системі, що 127: 18 = 7,05». Чому б і ні. - Але чи повинен при доказі РлссЕла виходити той же результат, що і при звичайному розподілі? Обидва вони, звичайно, пов'язані один з одним за допомогою рахунку (скажімо, правилами перекладу); але не спроба це здійснювати поділ допомогою нової техніки - оскільки істинність результату залежить тут від геометрії перекладання? 

 А покладемо, хто-небудь скаже: «Дурниця - такі міркування не мають ніякого значення для математики». 

 - Але справа тут не в невпевненості, бо ми абсолютно впевнені у своїх висновках, а в тому, чи користуємося ми все ще логікою (РлссЕла), скажімо, виробляючи поділ. 50.

 Споконвічна значимість тригонометрії полягає в її зв'язку з вимірами довжин і кутів: вона є розділом математики, орієнтованим на вимірювання довжин і кутів. Застосовність в цій області також можна назвати «аспектом» тригонометрії. 

 Припустимо, я ділю коло на рівні сектора і визначаю косинус одного з них шляхом виміру - розрахунок це чи експеримент? Якщо це розрахунок - чи є він наочно? Наочний чи розрахунок за допомогою логарифмічної лінійки? Якщо потрібно визначити косинус кута шляхом вимірювань, чи буде тоді пропозиція форми "cos а = п" математичним пропозицією? Що тут служить критерієм рішення? Чи говорить це пропозиція про щось зовнішньому - діях з лінійками ІТ. П., або ж про що -то внутрішньому - пов'язаному з нашими поняттями? Чи відносяться фігури (малюнки) в тригонометрії до чистої математики або вони є тільки прикладами можливого застосування? 51.

 Якщо в тому, що я маю намір сказати, є щось справжнє, то, наприклад, рахунок в десяткового запису повинен володіти своїм власним життям. - Звичайно ж, кожне десяткове число можна представити у формі: 

 і, виходячи з цього, виконувати в цьому записі чотири види обчислень. Але життя десятковоїсистеми повинна бути незалежною від рахунку за допомогою одиниць-рисочок. 

 52. У зв'язку з цим мені весь час приходить на розум наступне: хоча в логіці РлссЕла можна довести вираз "а: Ь = с", але вона не навчить нас будувати правильне вираження цієї форми, тобто вона не навчить нас ділити. Процес ділення відповідав би , наприклад, якоїсь систематичній перевірці докази РлссЕла, скажімо з метою отримати доказ пропозиції типу "37 х 15 = х". «Але техніка такий систематичної перевірки грунтується в свою чергу на логіці. Можна знову ж логічно довести, що ця техніка повинна привести до мети ». Значить, це схоже з тим, як доводилося б у Евклідової системі, що те чи інше побудова можна здійснити цим або іншим способом. 53.

 Що намагається показати той, хто прагне показати, що математика - це не логіка? Адже він хоче сказати щось в цьому роді: - якщо звернути столи, стільці, шафи і т. д. в достатню кількість паперу, вони зрештою будуть виглядати як кулясті. 

 Він не прагне показати, що для кожного математичного докази неможливо будувати «відповідне» йому (яким-то чином) доказ РлссЕла, він хоче показати інше - те, що визнання такої відповідності грунтується не на логіці. «Але ж ми завжди можемо вернугься до простим логічним методам!» Ну, а якщо визнати, що мьі це можемо зробити, то як же виходить тоді, що ми не дожиття цього робити? Або ми занадто поспішно, необачно йдемо від цієї справи? Але як ми повертаємося до простого висловом? Обираємо ми, наприклад, шлях вторинного докази і, дійшовши до кінця, повертаємося назад до первинної системі, щоб осмислити, куди ми потрапили; або ж рухаємося у двох системах і в кінці шляху з'єднуємо кінцеві пункти? А звідки ми дізнаємося, що в первинній системі в обох випадках отримаємо один і той же результат? А хіба просування у вторинній системі не містить в собі силу переконання? 

 «Але ми можемо, здійснюючи кожен крок у вторинній системі, думати, що він міг би бути здійснений і в первинній системі!» Справа саме в цьому: можна уявити собі, що він міг би бути здійснений, - не здійснюючи його. 

 І чому ми приймаємо одне замість іншого? На основі логіки? «А хіба не можна логічно довести, що обидва перетворення повинні привести до однакового результату?» - Але ж тут мова йде про результат перетворень знаків! Як може вирішити це питання логіка? 54.

 Як може доказ в системі рисок довести, що доказ у десятковій системі є доказом? Ну, а хіба з доказом у десятковій системі справа йде не так же ^ як з побудовою в Евклідової системі, щодо якого доведено, що воно дійсно є побудовою певної фігури? 

 Чи можна сказати так: «Переклад системи рисок в десяткову систему передбачає рекурсивне визначення. Це визначення не вводить, однак, скорочення одного виразу через інше. Індуктивне доказ в десяткового системі не містить, звичайно, безлічі всіх знаків, які переводилися б через рекурсивне визначення в систему знаків-рисочок. Тому це загальне доказ не може бути переведено шляхом рекурсивного визначення в якесь доказ в системі рисок »? Рекурсивне визначення вводить нову техніку знаків. - Воно повинно, отже, здійснювати перехід до нової «геометрії». Нам викладається новий метод впізнання знаків. Вводиться новий критерій ідентичності знаків. 55.

 Доказ показує нам, що має вийти. - І оскільки кожне відтворення докази повинно демонструвати саме це, то воно повинно автоматично відтворювати, з одного боку, результат, а з іншого - обов'язковість його збереження. 

 Це означає: ми відтворюємо не тільки умови, в яких був отриманий одного разу даний результат (як при експерименті), а й сам результат. І все ж доказ не є грою з заздалегідь обумовленими умовами, оскільки воно має бути здатне знову і знову вести нас [вказувати нам шлях]., Ми повинні бути здатні, з одного боку, абсолютно автоматично відтворювати доказ, а з іншого - це відтворення завжди повинно залишатися доказом результату. «Доказ має бути доступним для огляду» - це положення, по суті, звертає нашу увагу на відмінність понять: «повторити доказ» і «повторити експеримент». Повторити доказ не означає відтворити умови, в яких одного разу був отриманий певний результат, це значить повторити кожну ступінь докази і його результат. Стало бути, доказ має бути чимось, що допускає абсолютно автоматичне відтворення, але при всьому тому кожне таке відтворення повинно володіти доказової силою, що примушує визнати даний результат. 56.

 У якому випадку ми говоримо: одне логічне числення «відповідає» іншому, нехай навіть воно є його скороченою формою? - «В тому випадку, якщо його результати шляхом відповідних дефініцій можуть бути переведені в результати цього іншого обчислення». Але хіба обумовлено, як потрібно проводити розрахунок за допомогою цих визначень? Що дозволяє нам приз-нать цей переклад? Чи є він в кінцевому рахунку грою з заздалегідь обумовленими правилами? Він стає такою, якщо ми готові визнати тільки той переклад, який призводить до звичного результату. 

 Чому ми називаємо якусь частину логічних числень розселили відповідної диференціального числення? - Тому що в ній доводяться пропозиції диференціального числення. - Але ж не в кінцевому ж рахунку, що не post hoc? - А хіба це не байдуже? Досить того, що ці докази можна знайти в системі РлссЕла! Але чи не є вони доказами цих пропозицій лише в тому випадку, якщо їх результати можна перевести тільки в ці пропозиції? І чи буде це вірним навіть у разі множення-в системі рисок при наявності нумерації рисок? 57.

 Тут слід цілком виразно сказати, що розрахунки в записі за допомогою рисок завжди збігаються з розрахунками в десяткового запису. Можливо, для того щоб домогтися надійного збіги, ми в якийсь момент будемо змушені вдатися до того, щоб змусити кілька людей повторити розрахунки з рисками. І те ж саме ми зробимо при розрахунках з ще більшими числами в десятковій системі. 

 А це, звичайно, свідчить вже про те, що не докази в системі рисок роблять переконливими докази в десятковій системі. 

 «Але ж якби навіть не було другого, то можна було б використовувати перші докази, щоб довести те ж саме». - Те ж саме? Що значить «те ж саме»? - Це означає, що доказ за допомогою рисок переконає мене в тому ж самому, хоча і не тим способом. - Ну, а якби я сказав: «Те, до чого нас веде доказ, не може бути визначено незалежно від цього докази»? - Переконався чи б я за допомогою докази в системі рисок в тому, що доведене пропозицію володіє потенціалом використання, яким його наділило доказ в десятковій системі, - показала чи б, на приклад, система рисок те, що ця пропозиція може бути доведено і в десяткового системі? 58.

 Зрозуміло, було б безглуздо говорити, що одна пропозиція не може мати більше одного доказу, - саме це ми і стверджуємо. Але чи не можна сказати: це доказ показує, що ... виходить, якщо робити це; інший доказ по-називає, що цей вираз виходить, якщо робити щось інше? Бо хіба, наприклад, математичний факт, що 129 ділиться на 3, незалежний від того, що цей результат виходить при цьому розрахунку? Я маю на увазі: чи існує факт цієї подільності незалежно від логічного числення, в ході якого виходить такий результат; або це є фактом саме даного обчислення? 

 Уяви собі, що говорилося б: «Шляхом рахунки ми пізнаємо властивості чисел». 

 Але чи існують властивості чисел поза рахунку? «Два докази доводять одне і те ж, якщо вони мене переконують в одному і тому ж». - У якому ж випадку вони переконують мене в одному і тому ж? Звідки я знаю, що вони переконують мене в одному і тому ж? Звичайно ж, не в результаті інтроспекції. До прийняття цих правил можна підвести різними шляхами. 59.

 «Кожний доказ демонструє не тільки істинність доведеного пропозиції, але і те, що воно може бути доведено таким чином». - Але ж воно може бути доведено й іншим способом. - «Так, але доказ доводить це певним способом і при цьому доводить, що це може бути продемонстровано саме цим способом». - Але і це можна показати за допомогою якогось іншого доказу. - «Так, але не саме цим способом». - 

 Це означає приблизно наступне: даний доказ є математична сутність, яка не може бути замінена ніякий інший; можна сказати, що воно здатне переконати нас у чомусь такому, в чому не в змозі переконати ніщо інше і що можна висловити таким собі пропозицією, що не співвіднесеним ні з яким іншим доказом. 60.

 Але не допускаю я грубої помилки? Для арифметичних пропозицій і пропозицій логіки РлссЕла якраз істотно те, що до них ведуть різні докази. Більш того, що до кожного з них веде нескінченно багато доказів. 

 Чи вірно, що кожне доказ переконує нас у чомусь такому, у чому може переконати нас тільки воно? Чи не стало б тоді доведене пропозицію як би надлишковим, а саме доказ тим, що вже доведено? 

 Переконує чи мене доказ лише в доведеному реченні? Що значить: «Доказ є математичною сутністю, яка не може бути замінена ніякий інший»? Це означає адже, що кожне з доказів має своє власне значення, яким не володіє жодна інша. Можна було б сказати: «- що кожне доказ, навіть вже доведеного пропозиції, вносить певний внесок у математику». Чому йдеться про внесок, якщо справа полягає лише в доказі пропозиції? Ну, можна сказати: «Нове доказ виявляє (або створює) нову зв'язок». (Але тоді хіба не існує математичного пропозиції, мовця про наявність цієї зв'язку?) Про що ми дізнаємося, коли бачимо новий доказ, - крім пропозиції, яке і без того вже знали? Чи дізнаємося ми щось таке, що не може бути виражене в математичному реченні? 61.

 Наскільки використання якогось математичного пропозиції залежить від того, що дозволено вважати його доказом, а що ні? 

 Можна ж сказати: якщо вираз "137 х 373 = 46792" в звичайному сенсі вірно, то повинна існувати така схема множення, в крайніх точках якої знаходяться сторони цієї рівності. І така схема є зразком, що задовольняє певним правилам. 

 Беруся стверджувати: чи не визнай я схему множення одним із доказів пропозиції, це означало б, що і застосування цієї пропозиції випало з схем множення. 62.

 Подумаємо ось про що: недостатньо того, щоб два докази приводили до одного і того ж знаку-припущенню! Бо звідки ми знаємо, що цей знак обидва рази говорить про одне й те ж? Це повинно випливати з інших взаємозв'язків. 63.

 Точна відповідність вірного (переконливого) переходу в музиці та математики. 64.

 Уяви собі, що я даю комусь завдання: «Знайди доказ пропозиції ...» - рішення мало б полягати в пред'явленні мені певних знаків. Прекрасно, а яким умовам повинні задовольняти ці знаки? Вони повинні бути доказом такої пропозиції - але чи є це геометричним умовою? Або психологічним? Іноді це можна назвати геометричним умовою; там, де кошти докази заздалегідь приписані і ведеться пошук певної їх комбінації. 65. Чи є пропозиції в математиці антропологічними пропозиціями, які говорять про те, як ми, люди, умозак-Лючано і обчислюємо? - Чи є звід законів твором але антропології, яке повідомляє нам, як люди, що належать до цього народу, звертаються з злодієм і т. д.? Чи можна сказати: «Суддя справляється у книзі з антропології та відповідно з цим примовляє злодія до тюремного ув'язнення»? Так адже суддя ВИКОРИСТОВУЄ звід законів не як керівництво з антропології. 66.

 Передбачення говорить не про те, що людина, наступний при перетворенні цьому правилу, отримає саме це, а про те, що він отримає такий результат в тому випадку, коли ми говоримо, що він слідує цьому правилу. 

 А що, якби ми сказали, що математичні пропозиції в цьому сенсі є передбаченнями: вони пророкують, чого досягнуто члени того чи іншого суспільства, які навчилися цій техніці, в ході спільних узгоджених дій "з іншими членами цього суспільства?" 25 х 25 = 625 "означало б тоді, що люди, якщо вони, на нашу думку, дотримуються правил множення, при множенні 25 х 25 прийдуть до результату 625. - Те, що це - вірний прогноз, ніяких сумнівів не викликає; як і те, що рахунок, по суті, грунтується на таких прогнозах. Це означає, що ми не називали б щось словом «рахувати», якби не могли з упевненістю висловити подібне припущення. Це означає, власне: рахунок - якась техніка і все сказане відноситься до сутності техніки. 67.

 Ця згода належить рахунку по самій його суті, оскільки він надійний. 

 У техніці рахунки повинні бути можливі передбачення. 

 А це робить техніку рахунки схожою на техніку гри на зразок 

 шахів. 

 Але як у такому випадку йде справа зі згодою - чи не означає воно, що одна людина сам по собі не міг би вважати? Ну, у всякому разі, одна людина не змогла б вважати лише одного разу у своєму житті. 

 Можна було б сказати: всі можливі позиції в шахах дозволено розуміти як пропозиції, які проголошують, що вони (самі по собі) є можливими ігровими позиціями; або ж як передбачення: люди можуть досягти цих позицій в результаті певних ходів, які вони одностайно пояснюють згідно з правилами . Тоді отримана таким чином ігрова позиція є доведеним пропозицією цього роду. «Рахунок є якийсь експеримент». Рахунок може бути експери-ментом. Учитель просить учня провести якийсь розрахунок, щоб зрозуміти, чи вміє він вважати; це експеримент. Коли вранці в грубці розводять вогонь, чи є це експериментом? Може бути в тому чи іншому випадку. 

 Ось так само і шахові ходи не є доказами, а положення фігур не є пропозиціями. І математичні пропозиції не є ігровими позиціями. І, таким обра зом, вони не є також передбаченнями. 68.

 Якщо розрахунок - якийсь експеримент, що є тоді помилкою в розрахунку? Помилка в експерименті? Звичайно ж, ні; помилка в експерименті з'явилася б у тому випадку, якщо б не дотримувалися умови експерименту, якби, наприклад, когось змусили вважати при страшному шумі. 

 А чому не скажеш: хоча помилка в розрахунку - це не помилка в експерименті, але це все ж невірний хід експерименту - іноді зрозумілий, іноді незрозумілий. 69.

 «Розрахунок, наприклад множення, є експериментом: ми не знаємо у що вийде, і дізнаємося це лише тоді, коли буде виконано множення». - Звичайно, так само як нам невідомо, коли ми йдемо гуляти, в якому місці опинимося через п'ять хвилин - але хіба це робить прогулянку експериментом? - Ні; але при розрахунку я ж хотів заздалегідь знати, що вийде, адже мене цікавило саме це. Мені цікаво знати, яким буде результат. Але не в тому сенсі, що я маю намір сказати, а то, що я повинен сказати. 

 Але хіба на прикладі цього множення ти цікавишся не тим, як саме буде вважати більшість людей? Ні, у всякому разі, у звичайній ситуації - ні, якщо навіть я спрямовуюся разом з усіма в якийсь загальний пункт призначення. Але ж розрахунок якраз і показує мені експериментально, де знаходиться цей пункт. Він дозволяє мені подумки відправитися в шлях і усвідомити, куди я потраплю. А правильне множення є зразок того, як ми всі проробляємо цей шлях, коли нас направляють таким чином. 

 Досвід учить, що ми всі визнаємо такий розрахунок вірним. Ми здійснюємо розрахунок і отримуємо результат. Але я хочу сказати, що нас тут цікавить не досягнутий - скажімо, при тих 

 чи інших умовах - результат, нас цікавить картина 

 дії, зрозуміло, дії переконливого, так сказати, злагоди-сова, але картина не підсумку експерименту, а шляхи до нього.

 Ми не говоримо: «Значить, ми діємо ось так!» - А говоримо: «Значить, це відбувається ось так!» 70.

 Наше згоду проявляється в однакових діях, - але ми користуємося цією тотожністю тільки для передбачення того, з чим погодяться люди. Так само як пропозицією «Цей зошит червона» ми користуємося не тільки для того, щоб передбачити, що більшість людей назве цю зошит «червоної». 

 «І це ми називаємо" тим же самим "». Якби не існувало збіги в тому, що ми називаємо «червоним» і т. д. і т. д., мова перестала б існувати. Яке ж становище справ із згодою відносного того , що ми називаємо «злагодою»? Ми можемо описати феномен мовної плутанини; але що є для нас її симптомом? Це не обов'язково повинна бути сум'яття і хаотичність в діях. Скоріше вже, це той випадок, коли я не розбираюся в тому, що говорять люди, не можу реагувати узгоджено з ними. 

 «Це для мене не мовна гра». У такому випадку я міг би також сказати: хоча вони супроводжують свої дії проголошенням звуків і я не можу назвати ці дії «плутаними», але все ж у них немає мови. - Але, може бути, їх дії стали б плутаними, якби їм завадили видавати ці звуки. 71.

 Можна сказати: доказ служить розумінню. Експеримент передбачає це. 

 Або навіть: математичне доказ формує нашу мову. Але все ж не можна заперечувати того, що за допомогою математичного доказу можна робити наукові передбачення щодо доказів, виконуваних іншими людьми. - Якщо у мене хтось запитує: «Якого кольору ця книга» - і я відповідаю: «Вона зелена», - то чи не можу я з тим же успіхом відповісти: «Люди, що говорять по-німецьки, називають її" зеленої " ("grim") »? А хіба він не міг би при цьому запитати: «А як називаєш її ти?» Адже він хотів почути мою відповідь. «Кордони емпіризму.» 72.

 Але ж існує наука про умовні рефлекси рахунку; чи є це математикою? Така наука повинна спиратися на експерименти: і цими експериментами будуть обчислення. Але що, якщо ця наука стала б дуже точною і, нарешті, навіть «математичної» наукою? 

 Ну, а чи є результатом цих експериментів збіг розрахунків людей або ж їх згода в тому, що вони називають «злагодою»? І т. д. 

 Можна сказати: така наука не функціонувала б, якби у нас не було згоди в розумінні ідеї збігу. Зрозуміло, що можна використовувати математичні роботи для вивчення антропології. Але не цілком тоді ясно одне: чи повинні ми говорити, що «цей текст показує нам, як у цього народу прийнято оперувати знаками», або ж ми повинні говорити: «Цей текст показує нам, які розділи математики освоїв цей народ»? 73.

 Чи можу я, закінчивши операцію множення, сказати: «Отже, з цим я згоден -»? - Але чи можу я те ж саме сказати, зробивши лише одну дію в множенні? Наприклад, виробивши множення "2x3 = 6"? Не більше ніж, дивлячись на цей аркуш паперу, я можу сказати: «Отже, це я називаю" білим "»? 

 Це, на мій погляд, було б аналогічно такої заяви: «Викликаючи у своїй пам'яті те, що робив сьогодні, я проводжу свого роду експеримент (я змушую себе проробити все спочатку), і спогад, яке потім виявляється, покликане показати мені, що дадуть відповідь на питання про моїх діях інші, видавши мене люди ». Що сталося б, якби ми частіше виявлялися в такій ситуації: ми виконуємо розрахунок і знаходимо його правильним; потім виконуємо його ще раз і виявляємо, що результат хибний: ми вважаємо, що раніше допустили помилку, - якщо потім ми проведемо його знову, то нам здасться невірним наш другий розрахунок і т. д.? Ну, а чи треба все це називати розрахунком чи ні? - У будь-якому випадку неможливо застосувати цей розрахунок для передбачення того, що хтось наступного разу прийде до того ж результату. - А чи не можна сказати, що він невірно обчислив цього разу, так як наступного разу так само він вже не порахує? Я міг би сказати: там, де існувала б така невпевненість, не було б рахунку. 

 Але з іншого боку, я все-таки кажу: «Рахунок правильний - у тому вигляді, як він виконаний». Не може бути помилки в рахунку "12 х 12 == 144". Чому? Ця пропозиція включено в наші правила. Чи є "12 х 12 = 144" висловлюванням про те, що всі люди, множать таким чином 12 на 12, неодмінно отримують 144? 74.

 Припустимо, я багаторазово виробляю один і той же розрахунок, 'щоб упевнитися в тому, що робив його правильно, і врешті-решт визнаю його вірним. - Хіба я повторював експеримент не з метою переконатися в тому, що і наступного разу все буде протікати так само? - Але чому триразове перераховування має мене переконувати в тому, що і в четвертий раз хід процесу буде тим же самим? - Я б сказав: я перераховував, щоб бути впевненим у тому, що «я нічого не пропустив». 

 Небезпека тут в тому, що ми шукаємо, як мені думається, виправдання своїй дії там, де цього виправдання не потрібно і де ми повинні просто сказати: ми робимо це ось так. Якщо хтось знову і знову проводить експеримент «постійно з одним і тим же результатом», він тим самим робить експеримент, який вчить його тому, що називати «однаковим результатом», тобто як використовувати слово «однаковий». Чи вимірює той, хто вимірює стіл дюймової лінійкою, і саму лінійку теж? Якщо він вимірює лінійку, то він не може при цьому вимірювати стіл. А що, якби я сказав: «Вимірюючи стіл дюймової лінійкою, людина проводить експеримент, який вчить його тому, що виходить при вимірі цього столу усіма іншими дюймовими лінійками». Адже немає сумніву, що, виходячи з вимірювання однієї лінійкою, можна передбачити, що дасть вимір іншими лінійками. Як безсумнівно і те, що неможливість такого передбачення зруйнувала б всю нашу систему вимірювання. 

 Жодна лінійка, можна сказати, не була б вірною, якби всі лінійки в загальному не збігалися. - Але, кажучи це, я не маю на увазі, що вони були б тоді все невірними. 75. Рахунок втратив би сенс, якби настала плутанина. Подібно до того як втратили б свій сенс слова «зелений» і «блакитний». І все ж здається безглуздим стверджувати, що пропозиція арифметики каже: сум'яття не настане. - Чи не зводиться чи рішення цієї проблеми просто до того, що в разі настання сум'яття пропозицію арифметики стало б не хибним, а марним? Подібно до того як твердження, що довжина цієї кімнати 16 футів, що не стало б помилковим в тому випадку, якби настала плутанина в масштабах і вимірах. Його сенс, а не його істинність грунтується на впорядкованому здійсненні вимірювань. (Але не будемо тут догматичні. Є перехідні випадки, що утрудняють розгляд.) 

 А що, якщо я скажу: математичне пропозицію висловлює впевненість у тому, що плутанини не буде? - 

 Тоді і вживання всіх слів висловлює впевненість у тому, що плутанини не буде. 

 Але ж не можна ж сказати, що вживання слова «зелений» свідчить, що плутанини не буде, оскільки тоді вживання слова «плутанина» у свою чергу повинно було б стверджувати те ж саме про це слові. 

 Якщо "25 х 25 = 625" висловлює впевненість у тому, що тут ми завжди легко дійдемо згоди, що шлях, який закінчується цією пропозицією, цілком прийнятний, то чому воно не висловлює впевненості в чомусь іншому - скажімо, в тому, що ми завжди зможемо дійти згоди щодо його вживання? З цими двома пропозиціями ми граємо не в одну і ту ж мовну гру. 

 Чи можемо ми бути одно впевнені в тому, що там побачимо той же колір, що і тут, і в тому, що будемо схильні назвати колір тим же самим, якщо він буде тим же самим? 

 Ось що я хочу сказати: математика як така є завжди заходом, а не вимірюваним. 

 76. Поняття рахунки виключає плутанину. Що вийшло б, якби хтось, виробляючи множення в різний час, отримував би різні результати, розумів це, але вважав би, що все в порядку? - Але тоді він не зміг би використовувати множення для тих же цілей, для яких використовуємо його ми! Чому ж ні? А хіба не ясно, що у нього тоді нічого не мало б виходити. Інтерпретація рахунки як експерименту представляється нам єдино реалістичною. 

 Все інше, вважаємо ми, просто дурниця. В експерименті ми маємо щось цілком відчутне. Це майже те ж, як якби стверджувалося: «Поет, коли він пише вірші, проводить психологічний експеримент. Тільки так можна пояснити те, що вірш може мати цінність ». Суть експерименту спотворюється, якщо думати, що кожен процес, результат якого нас дуже цікавить, єте, що ми називаємо «експериментом». Якимось обскурантизмом представляється заяву, що обчислення - це не експеримент. Точно так само, як і твердження, що математика не оперує знаками або - біль не є формою поведінки. Але відбувається це тільки тому, що люди вважають, ніби тим самим стверджується існування якогось невловимого, тобто подібного тіні, предмета поряд з предметами, 

 які всіма нами чітко сприймаються. Тоді як ми всього лише вказуємо на різні способи вживання слів. Це майже те ж саме, що сказати: «блакитне» має позначати 

 блакитний предмет, інакше не можна було б зрозуміти призначення 

 цього слова. 

 77. Я придумав гру - з таким розрахунком, що той, хто починає, завжди повинен виграти; значить, це не гра. Я змінюю її; тепер все в порядку. 

 Проробив Чи я експеримент, в результаті якого з'ясувалося, що початківець завжди виграє? Або ж виявилось, що це відбувається тому, що ми схильні грати таким чином? Ні. Але 

 адже результат вийшов не таким, як ти очікував! Звичайно ж, ні; але це не робить гру ще і якимсь експериментом. Але що це означає: не знати, через що результат завжди повинен бути таким? Так адже вся справа в правилах. - Я хочу знати, яким чином я повинен змінити правила, щоб домогтися вірною гри. - Але ти ж можеш змінити їх, наприклад, зовсім - тобто вибрати замість твоєї зовсім іншу гру. - А от цього я не хочу. Я хочу в загальному і цілому зберегти правила і тільки усунути помилку. - Але це так невизначено. І до того ж просто неясно, що слід вважати такою помилкою. Це майже те ж саме, що сказати: в чому помилка в цій музичній п'єсі? Вона недобре звучить у виконанні на цих інструментах. - Тоді як помилку не обов'язково шукати в інструментуванні; можна вило б шукати її в темах. Припустимо, однак, що гра така, що той, хто починає, завжди може виграти за допомогою певного простого трюку. Але це не дійшло до свідомості, - тоді це якась гра. І ось хтось звертає на це нашу увагу, і це перестає бути грою. Який поворот можна дати цьому, щоб усвідомити ситуацію? - Я ж хочу сказати: «І це перестає бути грою», - а не: «І тепер ми розуміємо, що це не було грою». 

 Значить, я хочу сказати, це можна витлумачити і так: хтось інший не звернув нашу увагу на щось, але навчив нас замість нашої гри якийсь інший грі. - Але як може нова гра вивести з ужитку стару? - Ми тепер розуміємо дещо по-іншому і не можемо далі грати так само наївно. Гра складалася, з одного боку, з наших дій (ігрових дій) на дошці; і ці ігрові дії я міг би зараз ви-підняти настільки ж добре, як раніше. Але з іншого боку, для гри було істотно, що я сліпо намагався виграти; тепер же я не можу більше вести себе таким чином. 

 78. Припустимо: спочатку люди звичайним чином практикували 4 виду рахунку. Потім вони почали використовувати в обчисленнях вирази в дужках, а також вирази типу (а - а). І ось вони помітили, що, наприклад, множення стає при цьому багатозначним. Чи повинно це було б збити їх з пантелику? Чи повинні були б вони сказати: «Тепер міцний фундамент арифметики, здається, похитнувся»? 

 І якби вони тепер вимагали доказу несуперечності, бо інакше вони на кожному кроці піддавалися б небезпеки 

 збитися, чого вони вимагали б? Загалом, вони вимагали б 

 порядку. А хіба раніше порядку не було? - Ну, вони вимагали б порядку, який би їх тепер заспокоїв. - А хіба вони як діти і їх треба заколисувати? 

 І все таки множення через свою багатозначності стало як би практично непридатним - тобто: непридатним в колишніх нормальних цілях. Пророцтва, які грунтувалися на множення, тепер би не спрацьовували. - (Якби я хотів передбачити, яку довжину матиме шеренга солдатів, яка може бути утворена з каре 50 х 50, я знову і знову приходив би до неправильних результатів.) 

 Значить, цей тип обчислень неправильний? - Швидше, він непридатний для цих цілей. (Ймовірно, застосуємо для інших.) Чи не зразок чи того, як якщо б я одного разу замість множення став би ділити? (Таке дійсно може трапитися.) Що означає: «Ти повинен тут множити, а не ділити!» - Що тут вірної грою є звичайне множення, що в ньому неможливо оступитися? А що обчислення за допомогою (а - а) - невідповідна гра - що в ній неможливо не спіткнутися? (Описувати, а не пояснювати - ось, чого ми хочемо!) А що, якщо ми не цілком орієнтуємося в нашому численні? Ми в лунатичний сні пройшли шлях між прірвами. - Але навіть якщо ми зараз говоримо: «Тепер ми пильнуємо», - чи можемо ми бути впевнені, що в одного чудового дня не прокинемося? (І тоді скажемо: значить, ми знову спали.) 

 Чи можемо ми бути впевнені, що не існує прірв, яких ми не бачимо? 

 А якщо я б сказав: прірв в обчисленні немає, якщо я їх не бачу! А чи не збиває чи нас сьогодні з пантелику чортеня? Ну, якщо і збиває, це не має значення. Чого не знаєш, - про це не хвилюєшся. Припустимо: один раз я ділив би на 3 таким чином: 

 1 січня 11 січня 

 а другий раз таким: 

 шТЇЇТПТІТГГІ 11 

 і не помітив цього. - І ось хтось звертає на це мою увагу. 

 На помилку? А чи так вже безумовно, що це помилка? І за яких обставин ми називаємо це помилкою? 

 79. ~ / (Я = tfi (f) Def. Ф (ф) = ~ ф (ф) 

 Пропозиції "ф {фу і« »ф {ф)" іноді, здається, говорять нам то одне і те ж, іноді ж зовсім протилежне. Залежно від того, як ми його розглядаємо, пропозиція «ф (ф)»> здавалося б , говорить те ~ ф (ф), то щось протилежне. І в одних випадках ми розглядаємо його як результат підстановки 

 1 Ф ' 

 в інших як 

 К. 

 1 Ф 

 Ми готові заявити: «" Гетеро л огіческій "- це не гетерологічес-кий; тобто можна назвати це" гетерологичеським "за визначенням». І це звучить цілком правильно, проходить зовсім гладко, і протиріччя зовсім не обов'язково кидається нам в очі. Якщо ж протиріччя відмічено, ми схильні були б насамперед сказати: в твердження про те, що? гетерологічние, ми вкладаємо в тому й іншому випадках різний зміст. Один раз це - нескорочені твердження, іншого ж разу - твердження, скорочене згідно з визначенням. 

 Потім ми спробували б вийти з положення, сказавши:,, ф {ф) = фх (ФУ \ Але навіщо нам так себе обманювати? Адже тут дійсно два протилежних шляхи ведуть до одного і того ж. Або ж: настільки ж природно в цьому випадку сказати, ~ ф (ф) "> як і ^ ф (фу \ 

 Сказати, що С розташоване праворуч від пункту А і що воно розташоване зліва, однаково правомірно у відповідності з певним правилом, 

 яке свідчить, що якесь місце розташоване в напрямку стрілки, якщо до нього веде дорога, що починається в цьому напрямку. 

 Розглянемо це з точки зору мовних ігор. - 

 Спочатку ми грали в гру тільки з прямими дорогами. 

 80. Чи можна, наприклад, уявити собі, що якщо я бачу що-то блакитне, то це означає, що предмет, який я бачу, не блакитний - що видимий мною колір завжди розцінюється як той, який виключений? Я міг би, скажімо, допустити, що Бог завжди показує мені якийсь колір лише для того, щоб сказати: не цей. Або ж відбувається так: колір, який я бачу, говорить мені тільки про те, що цей колір грає якусь роль в описі предмета. Він відповідає не пропозицією, а просто слову «блакитний». І опис предмета може, таким чином, з рівним успіхом означати: «він блакитний» і «він не голубий». Тоді кажуть: око показує мені тільки блакить, а не її роль. - Ми зіставляємо зорове сприйняття кольору зі слуховим сприйняттям слова «го-лубой», якщо не чуємо в реченні решти. Я хотів би показати, що людину можна підвести до того, щоб ситуацію: щось є блакитним, - він намагався описати за допомогою слів «воно блакитне», і «воно не блакитне». Що, стало бути, в наших силах так змінити метод проектування, що "р" і "~ р" набувають однаковий зміст. Але це втрачається, якщо не ввести чогось нового в якості заперечення. При цьому мовна гра може через суперечності втратити свій сенс, характер мовної гри. 

 І тут важливо сказати, що цей характер окреслюється не тим, що говориться: звуки повинні виробляти відоме вплив. Бо мовна гра (2) * позбулася б характеру мовної гри, якби замість 4 наказів будівельники видавали все нові і нові звуки і навіть якщо було б можна довести з точки зору фізіології, що кожного разу саме ці звуки змушують помічника приносити ті будівельні камені, які він приносить. Тут також можна було б сказати, що мовні гри важливо, звичайно, розглядати й тому, що вони постійно продовжують функціонувати. Тобто важливість їх розгляду визначається тим, що люди можуть бути привчені до такої реакції на звуки. З цим, як мені здається, пов'язане питання про те, чи є обчислення експериментом, у яких метою передбачити хід обчислень. Що якщо хтось виконав обчислення і - правильно - передбачив, що наступного разу буде обчислювати інакше, бо обставини наступного разу зміняться хоча б тому, що таким способом обчислення вироблено вже багато разів? Обчислення - це феномен, який ми дізнаємося з обчислення. Так само як мова - це феномен, який ми знаємо з нашої мови. Чи можна сказати: «Протиріччя нешкідливо, якщо його можна ізолювати»? А що заважає нам ізолювати його? Те, що ми як слід не орієнтуємося в обчисленні. Стало бути, в цьому і укладений шкоду. І це якраз мається на увазі, коли кажуть: протиріччя показує, що в нашому численні щось не в порядку. Воно є просто локальний симптом хвороби всього тіла. Але тіло боляче тільки тоді, коли ми не орієнтуємося. Обчислення несе в собі приховану хворобу, а це означає: те, що ми маємо, і в тому вигляді, в якому воно є, чи не літочислення, і ми не орієнтуємося, тобто не можемо провести ніякого обчис-лення, яке б «по суті »відповідало цьому подобою обчислення і лише виключало з нього все непридатне. Але як можливо не орієнтуватися в деякому обчисленні; хіба воно не відкрито нам? 

 Припустимо ми засвоїли числення у Фреге разом з його протиріччям. Але так, що це протиріччя не представляється чимось болючим. Воно, швидше вже, являють собою визнану частина обчислення, з його допомогою обчислюють. (Обчислення не служать звичайної мети логічних числень.) - Так от, ставиться завдання замінити це числення, цілком респектабельної частиною якого є протиріччя, іншим, в якому не повинно бути цього протиріччя, бо обчислення хочуть використовувати в цілях, зробити протиріччя небажаним. - Що це за завдання? І якого роду нездатність мається на увазі, якщо кажуть: «Ми ще не знайшли обчислення, що задовольняє цій умові»? Говорячи: «Я не орієнтуюся в обчисленні», - я маю на увазі не стан душі, а нездатність що-небудь зробити. Часто для прояснення якийсь філософської проблеми буває корисно уявити собі історичний розвиток, наприклад в математиці, зовсім іншим, ніж воно було насправді. Якби воно було іншим, то нікому б не спало на думку говорити те, що говорять в дійсності. 

 Я б поставив питання, наприклад, так: «Прагнеш чи ти у своєму обчисленні до користі? - Тоді у тебе не виникне і протиріччя. А якщо ти не прагнеш до користі, то зрештою неважливо, якщо навіть протиріччя і вийде ». 

 81. Наше завдання полягає не в пошуках числень, а в тому, щоб описати нинішній стан справ. 

 Ідея предиката, істинного щодо себе самого і т. д., спирається, звичайно, на приклади, - але ж ці приклади були дурницями, вони ж зовсім не були придумані. Але це не говорить про те, що такі предикати не можна було б використовувати, а протиріччя не мало б застосування! 

 Я маю на увазі наступне: якщо увага дійсно направлено на використання, то не прийде в голову написати, / (/) ". З іншого боку, якщо знаки в обчисленні вживають, так сказати, без будь-яких передумов, то можна написати і, / (/) ", а потім потрібно зробити висновки, і не можна забувати, що ще немає жодного уявлення про можливе практичному використанні цього числення. 

 Чи зводиться питання до того: «Де ми покидаємо область застосовності?» - 

 Бо хіба неможливо хотіти породити протиріччя? Щоб ми з гордістю за наше математичне відкриття сказали б: «Дивися, ось рк ми виробляємо протиріччя». Хіба неможливо, щоб безліч людей прагнули, наприклад, призвести протиріччя в області логіки і щоб зрештою комусь це б вдавалося? 

 Але чому ж люди повинні намагатися зробити саме це? - Ну, я, мабуть, не зможу тут припустити якусь переконливу мету. А чому б, наприклад, не з метою показати, що в цьому світі все невизначено? 

 Ці люди, правда, ніколи не стали б насправді використовувати вирази типу, / (/) ", але вони були б раді жити в сусідстві з протиріччям. 

 «Вбачаю Чи я якийсь порядок, який заважає мені несподівано прийти до протиріччя?» Це все одно що сказати: покажи мені в моєму обчисленні порядок, який переконає мене, що я таким способом жодного разу не прийду до числа, яке ... Я приведу йому тоді, наприклад, рекурсивне доказ. 

 Але хіба неправильно сказати: «Що ж, я піду своїм шляхом далі. Побачу протиріччя, тоді і потрібно буде з цим щось зробити »? - Чи означає це: насправді не займатися математикою? Чому це не повинно бути обчисленням? Я спокійно піду цим шляхом далі; якщо мені доведеться наштовхнутися на прірву, я спробую її обійти. Хіба це не значить «йти»? Уявімо собі тако випадок: люди якогось племені можуть вважати тільки усно. Вони ще не знають писемності. Вони вчать своїх дітей рахувати в десятковій системі. У їх рахунку часто зустрічаються помилки, цифри повторюються або упускаються, а вони цього не помічають. Ось якийсь мандрівник записує фонограму їх рахунки. Він навчає їх писемності та письмового обчисленню і потім показує їм, як часто вони помилялися при усному рахунку. - Чи повинні тепер ці люди визнати, що раніше вони, власне, і не виробляли обчислень? Що вони тільки топталися на місці, а тепер йдуть? А хіба вони не могли б сказати: раніше наші справи йшли краще, наша інтуїція була обтяжена мертвою буквою? Неможливо осягнути дух за допомогою машин. Можливо, вони кажуть: «Якщо тоді ми, як стверджує твоя машина, повторювали якусь цифру, то, значить, так і треба було». 

 Ми довіряємо, наприклад, «механічним» засобам обчислення або рахунки більше, ніж нашій пам'яті. Чому? - Чи повинно бути так? Я можу помилитися в рахунку, машина, сконструйована нами так-то і так-то, не може. Чи повинен я дотримуватися такої точки зору? - «Що ж, досвід навчив нас тому, що виконання обчислень за допомогою машини більш надійно, ніж за допомогою пам'яті. Це навчило нас тому, що наше життя піде більш гладко, якщо ми будемо робити обчислення за допомогою машин ». Але чи повинна гладкість обов'язково бути нашим ідеалом (чи повинно бути нашим ідеалом все загорнуте в целофан)? 

 А хіба я не міг би довіряти пам'яті і не довіряти машині? І хіба неможливо не довіряти досвіду, який «морочить мені голову» тим, що машина надійніше? ' 82.

 Перш я не був упевнений, що серед типів множення, відповідних цьому опису, немає жодного, який дає інший результат у порівнянні з визнаним. Але припустимо, моя невпевненість така, що з'являється лише напередодні нормального типу обчислень; і припустимо, ми сказали: вона нічому не заважає, бо якщо я обчислюю зовсім вже незвичайним чином, то повинен все це ще раз обмізкувати. Хіба це не було б правильно? І все ж я хочу запитати: чи повинна доказ несуперечності (або однозначності) неодмінно дати мені велику впевненість, ніж та, що є у мене і без того? А якщо я дійсно пускаюся на авантюри, хіба я не можу пускатися на такі авантюри, в яких цей доказ більше не дає мені якої-небудь впевненості? 

 Моя мета полягає в тому, щоб змінити установку по відношенню до протиріччя і до доказу несуперечності. (А не в демонстрації того, що це доказ показує мені щось незначне. І як це могло б бути]) Якщо б для мене було важливо, наприклад, породжувати протиріччя в естетичних цілях, то я б без довгого роздуму прийняв індуктивне доказ несуперечності і сказав би: безнадійно прагнути призвести протиріччя в цьому обчисленні, доказ показує нам, що це не вийде. (Доказ в теорії гармонії.) 83.

 Мабуть, вдалим можна вважати такий вислів: «Це літочислення не відає цього порядку (цього методу), а то обчислення відає». 

 А як бути, якщо кажуть: «Обчислення, яке не знає цього поряд - ка, власне, не є числення»? 

 (Канцелярія, що не знає цього порядку, власне, не є канцелярія.) 

 Безладу, смію стверджувати, уникають в практичних, а не в теоретичних цілях. 

 Порядок вводять тому, що без нього не клеїться справу, - або ж його вводять, подібно обтічним формам дитячих колясок і ламп, оскільки він, наприклад, десь в іншому місці виправдав надії і, таким чином, став стилем або модою. 

 Зловживання ідеєю механічного забезпечення безпеки щодо протиріччя. А як бути, якщо частини механізму сплавили один з одним, зламаються або погнуться? 84.

 «Тільки доказ несуперечності демонструє мені, що я можу довіряти обчисленню». 

 Що це за пропозиція: тільки в такому випадку можна довіряти обчисленню ...? А якщо ти довіряєш йому без такого доказу? Якого типу помилку ти скоїв? 

 Я наводжу порядок, я кажу: «Є тільки ці можливості: ...» Це схоже на те, як якщо б я визначав можливі перестановки елементів A, JS, С: перш ніж з'явився б порядок, у мене було б лише туманне уявлення про цій множині. - Цілком чи я тепер впевнений, що нічого не пропустив? Порядок - це засіб нічого не пропустити. Але не пропустити яку можливість в обчисленні, або: не пропустити яку-або можливість у реальності? - А чи достовірно, що люди ніколи не захочуть обчислювати інакше? Що вони ніколи не будуть сприймати нашу числення так само, як ми - рахунок дикунів, числовий ряд яких доходить тільки до п'яти? - Що ми ніколи не захочемо Інтерпретувати реальність інакше? Але це аж ніяк не та впевненість, яку повинен нам дати цей порядок. Повинна бути забезпечена не вічна правильність обчислення, а Тільки, так сказати, тимчасова. 

 «Але ж ти маєш на увазі ці можливості! - Або ж інші? »Порядок переконує мене в тому, що, маючи ці 6 можливостей, я нічого не пропустив. Але переконує він мене також у тому, що ніщо не зможе спростувати моє теперішнє розуміння таких можливостей? 85,

 Чи можна уявити собі, що можливість побудови се-міугольной конструкції викликає ті ж самі побоювання, що і структура протиріччя, і що доказ неможливості семикутною конструкції мало б настільки ж заспокійливе вплив, як і доказ несуперечності? Як виходить, що ми взагалі схильні (або близькі до цього) в (3 - 3) х 2 = (3 - 3) х 5 скоротити (3 - 3)? Як виходить, що цей крок за правилами виглядає зрозумілим, і як виходить, що він потім все-таки виявляється непридатний? Намагаючись описати цю ситуацію, надзвичайно легко помилитися. (Тобто її дуже важко описати.) Описи, які безпосередньо приходять в голову, вводять нас в оману - так, в цій області, влаштований наш мову. 

 При цьому завжди від опису зісковзують до пояснення. Це відбувається або ж виглядає приблизно так: у нас є обчислення, скажімо, за допомогою кісточок на рахунках; замінимо його обчисленням за допомогою письмових знаків. Це літочислення наблизить нас до такого розширення способу обчислення, до якого не підводило перший числення, - або, мабуть, краще сказати: друге числення стирає відмінність, яка в першому не можна було не помітити. Ну, а якщо проведення цієї відмінності було сенсом першого обчислення, а в другому це розходження не проводиться, то тим самим другим втратило здатність бути еквівалентом першого. І тепер, мабуть, могла б виникнути проблема: де ми відійшли від початкового обчислення, які рубежі в новому відповідають природним кордонів старого? У мене є система правил обчислення, змодельованих за правилами якогось іншого числення. Я взяв його собі за зразок. Однак вийшов за його межі. Це було навіть перевагою; проте тепер нове літочислення в деяких ситуаціях (принаймні для старих цілей) стало непридатним. Тому я намагаюся його змінити, тобто замінити його трохи іншим обчисленням. Притому таким, яке має перевагами нового, будучи позбавлене його недоліків. Але чи є це ясно визначеним завданням? 

 Чи існує - можна також запитати - правильне логічне числення, тільки без протиріч? 

 Чи можна, наприклад, сказати, що хоча «теорія типів» РлссЕла і уникає протиріччя, але обчислення розселили все ж не універсальний, а штучно обмежене, спотворене логічне числення? Чи можна сказати, що чисте, універсальне логм тичне числення ще тільки має бути знайдено? Я грав у гру і слідував при цьому чітким правилам, але як я їм слідував - це залежало від обставин, і ця залежність не була записана чорним по білому. (Це подання в деякій мірі вводить в оману.) І ось я захотів так грати в цю гру, щоб «механічно» слідувати правилам, і «формалізував» гру. При цьому, однак, я дійшов до таких ситуацій, де гра втратила всякий сенс: я хотів тому їх «механічно» уникнути. - Формалізація логіки не цілком вдалася. Але навіщо взагалі її намагалися провести? (Навіщо вона була потрібна?) Чи не виходила чи ця потреба і думка про те, що вона повинна задовольнятися, з неясності в іншому місці? 

 Питання «Навіщо вона була потрібна?» Був дуже істотним питанням. Бо числення була придумана не для практичної мети, а для того, щоб «обгрунтувати арифметику». Але хто говорить, що арифметика є логіка; або ж що треба зробити з логікою, щоб перетворити її на якомусь сенсі в фундамент арифметики? Якщо нас підштовхують до таких спроб, наприклад, естетичні міркування, то хто говорить, що в цьому можна досягти успіху? (Хто говорить, що це англійське вірш може бути, до нашого задоволенню, переведено на німецьку?!) (Навіть якщо і ясно, що для кожного англійського пропозиції, в якомусь сенсі є переклад на німецьку.) Філософська незадоволеність зникає завдяки тому, що ми більше розуміємо. 

 Завдяки тому, що я вважаю дозволеним скорочення (3 - 3), цей тип обчислення втрачає свій сенс. А що, якщо, наприклад, ввести новий знак рівності, який мав би виражати: «одно, після цієї операції»? Але хіба доречно було б говорити: «Виграв в цьому сенсі», - якщо в цьому сенсі я вигравав би кожну гру? 

 Обчислення провокувало мене в певних випадках на скасування його самого. Тепер я прагну до такого підрахунку, яке цього не робить, і виключаю такі ситуації. - Але чи означає це, що будь-яке обчислення, в якому таке виключення не відбувається, є ненадійним? «Що ж, виявлення цих випадків було для нас застереженням». - А чи не помилково чи зрозумів ти це «застереження»? 

 86. Чи можна довести, що нічого не пропущено? - Звичайно. А чи не доведеться комусь пізніше визнати: «Так, я щось пропус-тил; але не в тій області, для якої має силу моє доказ»? 

 Доказ несуперечності повинно дати нам підстави для передбачення; і в цьому його практична мета. Це не означає, що такий доказ належить фізиці нашої обчислювальної техніки - стало бути, прикладної математики, - але це означає, що тим найближчим його застосуванням, заради якого ми цінуємо це доказ, служить якесь пророкування. Це пророцтво не таке: «Цим способом не вийде безладу» (адже це було б не пророкуванням, а математичним виразом). Передвіщається інше: «Чи не станеться ніякого безладу». 

 Я хотів сказати: доказ несуперечності може заспокоїти нас тільки тоді, коли воно є переконливою підставою для цього пророкування. 87.

 Там, де мені достатньо докази, що протиріччя або трисекции не можна спорудити таким способом, там індуктивне доказ дає те, чого від нього вимагають. Однак якщо я повинен побоюватися, що щось тим чи іншим чином колись може бути витлумачено як породження протиріччя, то ніяке доказ не може позбавити мене від цього смутного побоювання. Огорожа, яку я зводжу навколо протиріччя, не їсти сверхограда. 

 Як числення може бути в принципі впорядковано шляхом того чи іншого доказу? 

 Хіба воно могло не бути вірним обчисленням доти, поки не знайшли цього докази? 

 «Це доказ чисто механічне; його могла б виконати машина». Що за машина? Машина, виготовлена ??зі звичайних матеріалів, або ж сверхмашіна? Чи не плутаєш ти твердість правила з твердістю матеріалу? 

 Ми побачимо протиріччя в різному світлі, якщо розглянемо його поява і його наслідки як би антропологічно або ж якщо поглянемо на нього з обуренням математика. Тобто ми побачимо його по-різному, якщо спробуємо просто описати, як протиріччя впливає на мовні ігри, і якщо подивимося на нього з позиції математичного законодавця. 88. Але стоп! Хіба не ясно, що ніхто не хоче прийти до протиріччя? Що, стало бути, той, кому ти покажеш на можливість протиріччя, зробить все, щоб протиріччя було неможливо? (Що, отже, той, хто цього не зробить, простак.) А, припустимо, він відповів: «Я не можу уявити собі протиріччя в моєму численні. - Ти, правда, показав мені протиріччя в іншому обчисленні, але не в цьому. У цьому немає суперечності, і я не бачу тут можливості для нього »? 

 «Якщо моє розуміння обчислення в якийсь момент з необхідністю зміниться, якщо завдяки оточенню, якого я зараз не бачу, неодмінно зміниться його аспект - тоді і продовжимо розмову про це». 

 «Я не бачу можливості протиріччя. Так само не бачу, як і ти, мабуть, не бачиш можливості такого в твоєму доказі несуперечності ». 

 Чи знаю я, що мені здасться небезпечним протиріччя, зіткнемося я одного разу з таким там, де зараз вважаю його неможливим? 89.

 «Чому вчить мене доказ, крім його результату?» - Чого вчить мене нова мелодія? Хіба я не відчуваю спокуси сказати, що вона вчить мене чогось? - 

 И9 

 6 - 1923 90.

 Роль помилки в розрахунку я ще не пояснив. Роль пропозиції: «Має бути, я помилився в обчисленні». Це, по суті, ключ до розуміння «підстав» математики. 

 « Попередня  Наступна »
 = Перейти до змісту підручника =
 Інформація, релевантна "1939 - 1940 1. "
  1.  Антон Семенович Макаренко (1888-1939)
      1939). «Воля, мужність, цілеспрямованість»
  2.  1.5. Приєднання нових територій до СРСР перед Великою Вітчизняною війною
      1939-1940 рр.. в результаті активної зовнішньополітичної діяльності до складу СРСР увійшов ряд територій. Це положення було закріплено Договором «Про дружбу і кордони». За цим договором СРСР повинен був зайнятися державним перебудовою приєднаних територій. Західна Україна і Західна Білорусія увійшли до складу Української РСР і Білоруської РСР. За умовами секретних протоколів,
  3.  ГЛАВА 4. КРАЇНИ ЄВРОПИ ТА США В 1918 - 1939 г.
      1939
  4.  ГЛАВА 5 форсованому будівництва СОЦІАЛІЗМУ (1929-1939 рр..)
      1939
  5.  ГЛАВА 6 РАДЯНСЬКИЙ СОЮЗ У ДРУГІЙ СВІТОВІЙ ВІЙНІ (1939-1945 рр..)
      1939-1945
  6.  Бібліографічний список
      1939-1940: Польща. - М., 2004. - 417 с. Проектор, Д. Війна на Заході / Д. Проектор. - М., 2004. Соколов, В. Б. Окупація: правда і міфи / В. Б. Соколов. М., 2003. - 348 с. Токарев, М. «Не - сволота». Підготовка використання підлітків в СРСР для розвідувально-диверсійної діяльності в роки Великої Вітчизняної Війни. / М. Токарєв. - М. 2008. - 352 с. Широкорад, А. Битва за Чорне море. / А.
  7.  Чуркін І. Н.. Друга світова війна. Велика Вітчизняна війна радянського народу (1939-1945 рр..): Методичні вказівки по курсу вітчизняної історії для студентів технічного вузу усіх спеціальностей / І. Н. Чуркін. - Ульянівськ: УлГТУ, 2009. - 64 с., 2009
      1939 - 1945 рр.). », Список рекомендованої літератури. Для викладачів, аспірантів і студентів гуманітарних факультетів вузів і всіх, хто цікавиться історією та культурою Росії. Робота підготовлена ??на кафедрі «Історія та
  8.  ГЛАВА 1. СРСР У СЕРЕДИНІ 1940 - СЕРЕДИНІ 1980-х р.
      1940 - СЕРЕДИНІ 1980-х
  9.  Радянська держава в 1920-х - початку 40-х рр..
      1939. Документи і матеріали, т. 1-2, М., 1990; Документи свідчать. З історії села напередодні і в ході колективізації. 1927-1932, М., 1989; Індустріалізація СРСР. 1933-1937. Документи і матеріали, М., 1971; Інквізитор: сталінський прокурор Вишинський. "Літературний фронт". Історія політичної цензури. 1932-1946 рр.. Збірник документів, М., 1994; Кооперативно-колгоспне
  10.  ОБЛАСТІ (від старослов'янського облада - володіння)
      1939-61, см. Целіноградська), Актюбінська (1932), Алма-Атинська (1932), Амударьінський (1922-24, Чимбай), Амурська (1932, до 1948 внутрікраевих, Благовєщенськ), Андижанская (1941), Арзамаська (1954 - 57), Архангельська (1937), Астраханська (1943), Ашхабадская (1939-59, 1973), Бакинська (195253), Балашовська (1954-57), Барановицька (1939-54), Білгородська (1954), Білостоцька (1939 - 44), Бобруйська
  11.  Зовнішня політика 20-х - початку 40-х рр.. 20 в.
      1939-1940, кн. 1-2, М., 1998; Історія зовнішньої політики СРСР. Ч. 1. 1917-1945, М., 1966; Невежін В. А., Синдром наступальної війни. Радянська пропаганда напередодні "священних боїв", 1939-1941, М., 1997; Новіков М.В., СРСР, Комінтерн і громадянська війна в Іспанії. 1936-1939, кн. 1-2, Ярославль, 1995; Семиряга М.І., Таємниці сталінської діпломатіі.1931-1941, М., 1992; Сиполс В.Я.,
  12.  Державні комітети, комісії та інші відомства СРСР
      1939), М. Б. Храпченко (грудень 1939 - січень 1948), П. І. Лебедєв (січень 1948 - квітень 1951), Н. Н. Беспалов (квітень 1951 - березень 1953). Комітет у справах кінематографії при РНК СРСР (1938-46). Голови: С. С. Дукельський (1938-39), І. Г. Большаков (червень 1939 - березень 1946). Комітет народного контролю (1957-1990). Голови: Г.В. Елютін (грудень 1957 - листопад 1962), А. Н. Шелепін
  13.  Народні комісаріати - Міністерства СРСР (1922-91)
      1939-1953, 1953-57, 1965-91). Наркоми: М. М. Каганович (січень 1939 - січень 1940), А. І. Шахурин (січень 1940 - січень 1946), нарком (міністр) М. В. Хрунічев (січень 1946 - березень 1953), міністри: П. В . Дементьєв (серпень 1953 - грудень 1957; березня 1965 - травень 1977), В. А. Козаков (червень 1977 - лютий 1981), І. С. Сіна (лютий 1981 - листопад 1985), А. С. Сисцов (листопад 1985 - грудень 1991).
  14.  П'єр Тейяр де ШАРДЕН (1881-1955)
      1940).
  15.  Омелян МИХАЙЛОВИЧ ЯРОСЛАВСЬКИЙ (1878 - 1943)
      1939) Н.К. Крупська обгрунтувала і розвивала ленінську ідею політехнічної освіти як засобу формування всебічно розвиненої